Wykaż jednoznaczność zagadnienia Cauchego

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
ciekawyawy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 28 sie 2021, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Podziękował: 1 raz

Wykaż jednoznaczność zagadnienia Cauchego

Post autor: ciekawyawy »

Cześć, mój pierwszy post, ale zapowiada się na więcej :)

Proszę o sprawdzenie i odpowiedzenie na wątpliwość, którą podałem na końcu.

Zadanie:
Pokazać, że zagadnienie Cauchego
\(\displaystyle{
\begin{cases}
\dot{x}=t(x+y)\\
\dot{y}=x^2
\end{cases}
}\)

\(\displaystyle{
\begin{cases}
x(1) = 1 \\
y(1) =1
\end{cases}
}\)

ma jednoznaczne rozwiązanie.

Moje rozwiązanie:

W dowodzie skorzystamy z twierdzenia Picarda-Lindelofa.

Dla ułatwienia oznaczeń będę korzystał z wersji wektorowej powyższego zagadnienia, gdzie \(
\begin{cases}
\alpha = \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} \\
\alpha(1) = \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}
\end{cases}
\)
Rozważmy dowolną parę liczb \(\displaystyle{ a,b > 0 }\) oraz zbiór
\(
Q := \{(t, \alpha): |t - 1| \leq, |\alpha - \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}| \leq b \}
\)
Funkcja \(f \) jest ciągła na \( Q \), gdyż składa się ze złożeń funkcji elementarnych.
Pokażę, że na \( Q \) spełniony jest warunek Lipschitza dla pewnego \( L > 0\) względem \( \alpha \):
\[
|f(1, \alpha_1) - f(1, \alpha_2)| \leq L |\alpha_1 - \alpha_2| \\
\left|\begin{bmatrix}x_1 + y_1 \\ x_1^2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}x_2 + y_2 \\ x_2^2 \end{bmatrix} \right|
\leq
L\left| \begin{bmatrix}x_1 \\ y_1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}x_2 \\ y_2 \end{bmatrix}\right| \\
\left( (x_1 - x_2) + (y_1-y_2) \right)^2 + (x_1^2 - x_2^2)^2 \leq L \left( (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2) ^2 \right)
\]
Korzystając z nierówności \( (a+b)^2 \leq 2(a^2 + b^2) \) oraz oznaczając \( K = L - 2 \) dostajemy poniższe:
\[
(x_1^2 - x_2^2)^2 \leq K \left( (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2) ^2 \right) \\
(x_1 + x_2)^2 (x_1 - x_2)^2 \leq K(x_1 - x_2)^2 \leq K \left( (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2) ^2 \right) \\
(x_1 + x_2)^2 \leq K
\]
Korzystamy z założenia, że \( |\alpha - \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}| \leq b \), skąd mamy, że \( (x_1 + x_2) \leq 2(b + 1) \)
Więc
\[
(x_1 + x_2)^2 \leq 4(b+1)^2 \leq L - 2 \\
4(b+1)^2+ 4 \leq L
\]
Stąd musi istnieć pewne L dodatnie, które spełnia powyższą nierówność Stąd funkcja \( f \) jest Lipschitzowska względem \( \alpha \). Na mocy twierdzenia Picarda-Lindelofa istnieje jednoznaczne rozwiązanie zagadnienia początkowego.

Mam wątpliwość związaną z samym twierdzeniem PL. Przy założeniu używamy pewnej normy wektorowej - ja użyłem euklidesowej, ale jakoś nie widzę, żeby w znanej mi wersji twierdzenia była o tym mowa. Czy może to być dowolna norma?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Wykaż jednoznaczność zagadnienia Cauchego

Post autor: Premislav »

To, jakiej normy użyjesz, wpłynie jedynie na ewentualne szczegóły obliczeniowe i wartość stałej, ponieważ w przestrzeni liniowej o skończonym wymiarze wszystkie normy są równoważne. Nie wgłębiałem się poza tym w rozumowanie, sorki, jestem zmęczony.
ODPOWIEDZ