Ekstrema funkcji dwóch zmiennych

[iapko]

Znajdż ekstrema funkcji \(\displaystyle{ f \left( x,y \right) = \sin x \sin y \sin\left(x+y\right) }\). Po zbadaniu pochodnych drugiego rzędu wychodzą mi dwa punkty podejrzane: \(\displaystyle{ \left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right), \left(\frac{2\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right) }\) i w obu przypadkach macierz pochodnych ma wyznacznik równy \(\displaystyle{ 0 }\), a wartość funkcji odpowiednio \(\displaystyle{ \frac{3\sqrt{3}}{8}, -\frac{3\sqrt{3}}{8} }\). Jak mogę oszacować tę funkcję aby wykazać, że w podanych punktach znajdują się ekstrema? Próbowałam różnych tożsamości trygonometrycznych ale nie udało mi się tego wykazać.

[a4karo]

Pokaż rachunki

[Premislav]

Odnotujmy, że \(\displaystyle{ |\sin(x+k\pi)|=|\sin x|, \ k\in \ZZ}\) (wynika to np. z analizy wykresu sinusa lub ze zwykłego wzoru na sinus sumy).
Znajdziemy maksimum globalne funkcji \(\displaystyle{ |f(x,y)|}\), a dalej będzie zabawa ze znakami.
Niech więc \(\displaystyle{ x=a+k\pi, \ y=b+l\pi, \ k,l\in \ZZ, \ a,b\in [0,\pi)}\).
Wówczas mamy
\(\displaystyle{ |f(x,y)|=|f(a,b)|=\sin a \sin b|\sin(a+b)|}\). Zachodzi (pierwsza równość ze wzorów na kosinus sumy i różnicy):
\(\displaystyle{ 2|f(x,y)|=(\cos(a-b)-\cos(a+b))|\sin(a+b)|\\\le (1-\cos(a+b))|\sin(a+b)|\\ \le (1+|\cos(a+b)|)\cdot|\sin(a+b)|}\).
Niech \(\displaystyle{ t=|\sin(a+b)|}\), wtedy z jedynki trygonometrycznej jest \(\displaystyle{ |\cos(a+b)|=\sqrt{1-t^2}}\)
i sprawa sprowadza się do zbadania funkcji
\(\displaystyle{ g(t)=\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{1-t^2}\right)t, \ 0\le t\le 1}\). Rachunek różniczkowy jednej zmiennej bez trudu daje nam
\(\displaystyle{ g_{\max}=\frac{3\sqrt{3}}{8}}\) i wartość ta jest przyjmowana w punkcie \(\displaystyle{ t_{0}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\) (tj. \(\displaystyle{ |\sin(a+b)|=\frac{\sqrt{3}}{2}}\)).
Pozostaje zagwarantować sobie równość w poprzednich nierównościach, tj. ma być \(\displaystyle{ \cos(a-b)=1, \ -\cos(a+b)=|\cos(a+b)|}\).
Koniunkcja tych trzech warunków zachodzi na przykład dla \(\displaystyle{ a=b=\frac{\pi}{3}}\).
Na koniec zabawa ze znakami: jeśli \(\displaystyle{ f(x,y)=A}\), to \(\displaystyle{ f(\pi-x, \pi-y)=\sin(\pi-x)\sin(\pi-y)\sin(2\pi-(x+y))=\sin x\sin y\sin(-(x+y))=-A}\).
Zatem maksimum globalne \(\displaystyle{ f}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{3\sqrt{3}}{8}}\) i jest przyjmowane np. dla \(\displaystyle{ x=y=\frac{\pi}{3}}\), zaś minimum globalne \(\displaystyle{ f}\) jest równe \(\displaystyle{ -\frac{3\sqrt{3}}{8}}\) i jest przyjmowane np. dla \(\displaystyle{ x=y=\frac{2}{3}\pi}\).

[iapko]

Odnotujmy, że \(\displaystyle{ |\sin(x+k\pi)|=|\sin x|, \ k\in \ZZ}\) (wynika to np. z analizy wykresu sinusa lub ze zwykłego wzoru na sinus sumy).
Znajdziemy maksimum globalne funkcji \(\displaystyle{ |f(x,y)|}\), a dalej będzie zabawa ze znakami.
Niech więc \(\displaystyle{ x=a+k\pi, \ y=b+l\pi, \ k,l\in \ZZ, \ a,b\in [0,\pi)}\).
Wówczas mamy
\(\displaystyle{ |f(x,y)|=|f(a,b)|=\sin a \sin b|\sin(a+b)|}\). Zachodzi (pierwsza równość ze wzorów na kosinus sumy i różnicy):
\(\displaystyle{ 2|f(x,y)|=(\cos(a-b)-\cos(a+b))|\sin(a+b)|\\\le (1-\cos(a+b))|\sin(a+b)|\\ \le (1+|\cos(a+b)|)\cdot|\sin(a+b)|}\).
Niech \(\displaystyle{ t=|\sin(a+b)|}\), wtedy z jedynki trygonometrycznej jest \(\displaystyle{ |\cos(a+b)|=\sqrt{1-t^2}}\)
i sprawa sprowadza się do zbadania funkcji
\(\displaystyle{ g(t)=\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{1-t^2}\right)t, \ 0\le t\le 1}\). Rachunek różniczkowy jednej zmiennej bez trudu daje nam
\(\displaystyle{ g_{\max}=\frac{3\sqrt{3}}{8}}\) i wartość ta jest przyjmowana w punkcie \(\displaystyle{ t_{0}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\) (tj. \(\displaystyle{ |\sin(a+b)|=\frac{\sqrt{3}}{2}}\)).
Pozostaje zagwarantować sobie równość w poprzednich nierównościach, tj. ma być \(\displaystyle{ \cos(a-b)=1, \ -\cos(a+b)=|\cos(a+b)|}\).
Koniunkcja tych trzech warunków zachodzi na przykład dla \(\displaystyle{ a=b=\frac{\pi}{3}}\).
Na koniec zabawa ze znakami: jeśli \(\displaystyle{ f(x,y)=A}\), to \(\displaystyle{ f(\pi-x, \pi-y)=\sin(\pi-x)\sin(\pi-y)\sin(2\pi-(x+y))=\sin x\sin y\sin(-(x+y))=-A}\).
Zatem maksimum globalne \(\displaystyle{ f/latex] wynosi \(\displaystyle{ \frac{3\sqrt{3}}{8}}\) i jest przyjmowane np. dla \(\displaystyle{ x=y=\frac{\pi}{3}}\), zaś minimum globalne \(\displaystyle{ f}\) jest równe \(\displaystyle{ -\frac{3\sqrt{3}}{8}}\) i jest przyjmowane np. dla \(\displaystyle{ x=y=\frac{2}{3}\pi}\).}\)

Bardzo, bardzo dziękuję!