Ekstrema funkcji dwóch zmiennych

[iapko]

Wyznacz ekstrema funkcji \(\displaystyle{ f\left(x,y\right)=x^{2}+y ^{2}-2x-4 \sqrt{xy}-2y+8 }\).
Licząc pochodne cząstkowe z dziedziny wypada mi punkt \(\displaystyle{ \left(0,0\right) }\), jak zbadać różniczkowalność w takim punkcie skoro nie da się go wsadzić do macierzy? Probowałam szacować wartość funkcji aby udowodnić że to ekstremum jest oraz badać wartości w sąsiedztwie aby udowodnić że go nie ma, niestety nic to nie dało. Co z tym zrobić?

[janusz47]

Proszę poprawić zapis wzoru funkcji w \(\displaystyle{ LaTeX. }\)

[Tmkk]

Jeśli tam miałoby być max/min lokalne, to musiałby być na każdej krzywej przechodzącej przez \(\displaystyle{ (0,0)}\). Popatrz co się dzieje na którejś z nich, na przykład na \(\displaystyle{ y = x}\). Krótko mówiąc, czy funkcja \(\displaystyle{ f(x,x)}\) ma maksimum / minimum w zerze?