Różniczkowalność funkcji, a zbiory otwarte

[PLrc]

Wybaczcie głupie pytanie, ale jakoś chyba nigdy nigdzie nie przeczytałem wytłumaczenia, a od dawna się nad tym zastanawiam. Dlaczego właściwie różniczkowalność badamy zawsze na zbiorach otwartych, nigdy na domkniętych? Przykładowo zawsze badamy różniczkowalność funkcji typu
\(\displaystyle{ f:(a,b) \rightarrow \mathbb R,}\)
nigdy funkcji typu
\(\displaystyle{ f:[a,b] \rightarrow \mathbb R.}\)
Co stoi temu na przeszkodzie?

[a4karo]

Ależ badamy. Tyle, że wtedy w punktach krańcowych mówimy o pochodnej jednostronnej (innymi słowy badamy tylko - z oczywistych względów - jednostronne granice).
Dla przećwiczenia policz sobie pochodne funkcji `\sqrt{x}` i `x\sqrt{x}` (obie określone w naturalnej dziedzinie)

Natomiast jest kilka twierdzeń, w których zakłada się np. ciągłość w przedziale domkniętym i różniczkowalność w otwartym (np. tw. Lagrange'a), ale wynika to z faktu, że matematycy lubią osłabiać założenia twierdzeń. Skoro nie potrzeba różniczkowalności na końcach, to po co ją zakładać?

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ \bullet}\) Zauważ, że pochodna funkcji w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) jest zdefiniowana jako granica ilorazu różnicowego. A taka definicja odnosi się do otoczenia puntu \(\displaystyle{ x_0}\). Więc aby zapewnić otoczenie trzeba rozważać zbiory otwarte.

\(\displaystyle{ \bullet}\) Intuicja test taka, że pochodna w punkcie to współczynnik kierunkowy stycznej więc jeśli sobie w takim punkcie staniemy to musimy umieć patrzeć na lewo i na prawo aby takie styczne przykładać. W zbiorach otwartych zawsze możesz rozglądać się w każdym kierunku, a w domkniętych nie.

\(\displaystyle{ \bullet}\) Są pewne sposoby na obejście tych wymagań otwartości ale to jest pewnego rodzaju osłabienie i próba powiedzenia czegokolwiek sensownego. I innym sposobem do wymienionego przez a4karo jest zdefiniowanie pochodnej na zbiorze domkniętym \(\displaystyle{ F}\) (ale raczej jego brzegu) poprzez określenie przedłożenia pochodnej na nadzbiorze otwartym \(\displaystyle{ F \subset U}\). Wtedy można powiedzieć (definiujemy), że pochodna na brzegu to obcięcie funkcji przedłużonej do brzegu \(\displaystyle{ F}\).

[a4karo]

\(\displaystyle{ \bullet}\) Zauważ, że pochodna funkcji w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) jest zdefiniowana jako granica ilorazu różnicowego. A taka definicja odnosi się do otoczenia punktu \(\displaystyle{ x_0}\). Więc aby zapewnić otoczenie trzeba rozważać zbiory otwarte.

To nie jest prawda. Granicę funkcji można liczyć w punkcie `x_0` gdy ten punkt jest punktem skupienia dziedziny. A to dużo mniej niż bycie we wnętrzu pewnego odcinka. Oczywiście dla liczenia pochodnej funkcja musi być w tym punkcie określona.

W definicji granicy wartości liczy się tylko w tych punktach, w których funkcja jest określona, a nie we wszystkich punktach z otoczenia punktu granicznego.

\(\displaystyle{ \bullet}\) Intuicja test taka, że pochodna w punkcie to współczynnik kierunkowy stycznej więc jeśli sobie w takim punkcie staniemy to musimy umieć patrzeć na lewo i na prawo aby takie styczne przykładać. W zbiorach otwartych zawsze możesz rozglądać się w każdym kierunku, a w domkniętych nie.

Nie wiem dlaczego intuicja każe Ci patrzeć w obu kierunkach. Inną rzeczą jest pojęcie stycznej. Intuicyjnie wszyscy wiedzą o co chodzi, ale dlaczego prosta `y=0` ma być styczną w zerze do wykresu funkcji \(\displaystyle{ x^2\sin \frac{1}{x}}\) (przecież przecina ja nieskończenie wiele razy w pobliżu zera)?

\(\displaystyle{ \bullet}\) Są pewne sposoby na obejście tych wymagań otwartości ale to jest pewnego rodzaju osłabienie i próba powiedzenia czegokolwiek sensownego. I innym sposobem do wymienionego przez a4karo jest zdefiniowanie pochodnej na zbiorze domkniętym \(\displaystyle{ F}\) (ale raczej jego brzegu) poprzez określenie przedłożenia pochodnej na nadzbiorze otwartym \(\displaystyle{ F \subset U}\). Wtedy można powiedzieć (definiujemy), że pochodna na brzegu to obcięcie funkcji przedłużonej do brzegu \(\displaystyle{ F}\).

Czy ja dobrze rozumiem, że chcesz przedłużać pochodną ze zbioru domkniętego `F` na podzbiór otwarty `U`? Przecież żeby to zrobić, to musisz najpierw znać pochodną na `F` więc po co ta cała zabawa?
Rozumiem, gdybyś chciał przedłużyć pochodną na wnętrzu zbioru `F`. Ale to może się nie udać z paru powodów: najbanalniejszy to taki, że zbiór domknięty wcale nie musi mieć wnętrza.

[Janusz Tracz]

To nie jest prawda. Granicę funkcji można liczyć w punkcie `x_0` gdy ten punkt jest punktem skupienia dziedziny. A to dużo mniej niż bycie we wnętrzu pewnego odcinka. Oczywiście dla liczenia pochodnej funkcja musi być w tym punkcie określona.

W definicji granicy wartości liczy się tylko w tych punktach, w których funkcja jest określona, a nie we wszystkich punktach z otoczenia punktu granicznego.

Za pierwszą uwagę dziękuję. Ale kolejna nie koniecznie odnosi się do zadania bo tu mowa o różnicy pomiędzy \(\displaystyle{ \left( a,b\right) }\) a \(\displaystyle{ \left[ a,b\right] }\). Poza tym mówię o intuicji, a nie tym czy ostatecznie jakąś granicę można policzyć czy nie. Po to są granice jednostronne i pochodne jednostronne by na brzegu \(\displaystyle{ \left[ a,b\right] }\) coś o pochodnej powiedzieć. Ale nie jest to tak pełna informacja o pochodnej co znajomość \(\displaystyle{ f'}\) na \(\displaystyle{ \left( a,b\right) }\). W sensie wiadomo o co chodzi. Do \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) można zbliżać się tylko z jednej strony. A to jednak jest pewne ograniczenie. W zbiorach otwartych go nie ma. Tyle chciałem powiedzieć.

Nie wiem dlaczego intuicja każe Ci patrzeć w obu kierunkach

No tak to zawsze sobie wyobrażałem. W zbiorach otwartych możesz patrzeć w każdym kierunku więc to jest naturalny grunt na którym można mówić o styczności. Przykład \(\displaystyle{ x^2\sin 1/x}\) uważam za chybiony albo go nie rozumiem. Styczna styczną mi chodzi jedynie o otoczenie \(\displaystyle{ 0}\) w którym funkcja jest jakoś określona i tam przypomina prostą \(\displaystyle{ y=0}\).

Czy ja dobrze rozumiem, że chcesz przedłużać pochodną ze zbioru domkniętego \(\displaystyle{ F}\) na podzbiór otwarty \(\displaystyle{ U}\) ?

To nie, że ja chce tylko tak się robi, gdy się mówi o warunku brzegowym niektórych równań różniczkowych. Chce określić pochodną na \(\displaystyle{ \partial F}\) jako obcięcie pochodnej określonej na \(\displaystyle{ U}\) (zbiór otwarty) taki, że \(\displaystyle{ F \subset U}\). Zbiór \(\displaystyle{ U}\) jest nadzbiorem \(\displaystyle{ F}\). To, że to się może nie udać to inny problem. Ja tylko mówię o takiej możliwości (nawet czasem stosowanej).

[a4karo]

Przykład \(\displaystyle{ x^2\sin\frac1x}\) pokazuje jak nie można ufać intuicjom. Bardzo by się chciało, żeby styczna była rzeczywiście styczna (tzn żeby albo wykres funkcji leżał po jednej stronie stycznej, no ewentualnie żeby wykres gładko przez tą styczną przechodził) Przyszłoby komu do głowy, że intuicyjna styczna przecina wykres nieskończenie wiele razy?

Przykład z równaniami różniczkowymi jest o tyle nieadekwatny, że zakłada istnienie funkcji na przedziale otwartym zawierającym przedział `[a,b]`. A w takim przypadku pytanie początkowe przestaje mieć sens.

[PLrc]

Dziękuję za komentarze.

Ależ badamy. Tyle, że wtedy w punktach krańcowych mówimy o pochodnej jednostronnej (innymi słowy badamy tylko - z oczywistych względów - jednostronne granice).

Wiesz co, przejrzałem sobie masę różnych definicji w podręczniku i dochodzę do wniosku, w którym Twój komentarz mnie tylko utwierdza, że w zasadzie nie ma żadnego powodu dla którego nie moglibyśmy policzyć zwykłej pochodnej funkcji typu
\(\displaystyle{ f:[a,b] \rightarrow \mathbb R}\)
w punktach \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) i że jedynym powodem dla którego rozważamy tylko funkcje postaci
\(\displaystyle{ f:(a,b) \rightarrow \mathbb R}\)
(przy ogólnym pojęciu pochodnej) jest to, żebyśmy mogli napisać sobie twierdzenie

Funkcja \(\displaystyle{ f:(a,b) \rightarrow \mathbb R}\) jest różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ p}\) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją w tym punkcie pochodne lewo- i prawostronna i są sobie równe. I w tedy
\(\displaystyle{ f'(p)=f'_{ \pm }(p).}\)

Bo gdybyśmy od początku rozważali funkcje postaci
\(\displaystyle{ f:[a,b] \rightarrow \mathbb R}\)
to z oczywistych powodów nie moglibyśmy tak napisać. Czyli wychodzi na to, że jest to w zasadzie konwencja podobna do tej, według której liczby 1 nie uważa się za liczbę pierwszą, po to, żeby można było napisać, że każda liczba naturalna różna od 1 ma jednoznaczny rozkład na iloczyn liczb pierwszych.

No bo tak jak piszesz: można przecież rozważać granice funkcji postaci
\(\displaystyle{ f:[a,b] \rightarrow \mathbb R}\)
w punktach \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), a co za tym idzie można by tam liczyć "normalną" pochodną. Przecież lewo- i prawostronne punkty skupienia są też punktami skupienia.

[a4karo]

Jako ciekawostkę pokażę Ci taką funkcję:
Niech \(\displaystyle{ \chi_\QQ(x)=\begin{cases} 1 & x\in\QQ\\0 & x\not\in\QQ\end{cases}}\) będzie funkcją charakterystyczną zbioru liczb wymiernych.

Wyznacz dziedzinę, i oblicz pochodną funkcji \(\displaystyle{ g(x)=\ln( x(2\chi_\QQ(x)-1))}\)