Ekstrema funkcji.

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Madzzia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 12 mar 2021, o 12:54
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 21 razy

Ekstrema funkcji.

Post autor: Madzzia »

Polecenie:
Wyznacz wszystkie ekstrema funkcji w podanych przedziałach. Podaj ich ilość w każdym z nich.
a) \(\displaystyle{ x \in \RR}\)
b) \(\displaystyle{ x \in \left\langle -3,1\right\rangle }\)
c) \(\displaystyle{ x \in \langle -3,1)}\)
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{2}x^4+ \frac{8}{3}x^3+x^2-12x }\)
\(\displaystyle{ f'(x)=2(x-1)(x+2)(x+3)}\)
\(\displaystyle{ f(-3)=13,5}\)
\(\displaystyle{ f(-2)=14,7}\)
\(\displaystyle{ f(-1)=-8,7}\)
Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania. Zrobiłam je na swój sposób, ale przedziały i fakt, że chodzi o wszystkie ekstrema trochę mnie zgubił. Byłabym bardzo wdzięczna!
Ostatnio zmieniony 12 mar 2021, o 15:12 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7911
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Ekstrema funkcji.

Post autor: janusz47 »

a)
\(\displaystyle{ x\in \RR }\)

\(\displaystyle{ f_{min.lok.} = f(-3) }\)

\(\displaystyle{ f_{maks.lok.} = f(-2) }\)

\(\displaystyle{ f_{min.lok.} = f(1) }\)

b)

c)
Madzzia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 12 mar 2021, o 12:54
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 21 razy

Re: Ekstrema funkcji.

Post autor: Madzzia »

Pomożesz jeszcze w podpunktach b i c? :( To z nimi mam największy problem.
I chodzi mi również o ekstrema globalne , nie tylko lokalne.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Ekstrema funkcji.

Post autor: Jan Kraszewski »

Ale na czym polega Twój problem, skoro w zasadzie wszystko masz policzone?

JK
Madzzia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 12 mar 2021, o 12:54
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 21 razy

Re: Ekstrema funkcji.

Post autor: Madzzia »

Mój problem polega na tym, że nie wiem co w sytuacji gdy ekstremum lokalne znajduje się na końcu przedziału.
Konkretnie w drugim przypadku nie wiem czy dla \(\displaystyle{ x=-3 }\) oraz \(\displaystyle{ x=1}\) mamy ekstrema lokalne czy nie? Bo z jednej strony zachodzi zmiana znaku a z drugiej strony mają otoczenie tylko z jednej strony.
Kolejnej rzeczy której nie rozumiem to kiedy nie mogę określić największej lub najmniejszej wartości funkcji? Czy zawsze w przedziale otwartym nie będę miała ekstremum globalnych ponieważ funkcja dąży do pewnej wartości na krancach ale nigdy jej nie osiąga?
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Re: Ekstrema funkcji.

Post autor: Kartezjusz »

Czy chodzi o ekstrema lokalne czy globalne. Bo do lokalnych wymagane jest sąsiedztwo, a do globalnych już nie.
Madzzia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 12 mar 2021, o 12:54
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 21 razy

Re: Ekstrema funkcji.

Post autor: Madzzia »

Lokalne
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Ekstrema funkcji.

Post autor: Jan Kraszewski »

Madzzia pisze: 13 mar 2021, o 12:51 Mój problem polega na tym, że nie wiem co w sytuacji gdy ekstremum lokalne znajduje się na końcu przedziału.
Konkretnie w drugim przypadku nie wiem czy dla \(\displaystyle{ x=-3 }\) oraz \(\displaystyle{ x=1}\) mamy ekstrema lokalne czy nie? Bo z jednej strony zachodzi zmiana znaku a z drugiej strony mają otoczenie tylko z jednej strony.
To zależy od tego, jakiej definicji ekstremum lokalnego używasz. Jeżeli Twoja definicja ekstremum lokalnego wymaga otoczenia obustronnego, to nie może wystąpić ono na krańcu dziedziny.
Madzzia pisze: 13 mar 2021, o 12:51 Kolejnej rzeczy której nie rozumiem to kiedy nie mogę określić największej lub najmniejszej wartości funkcji? Czy zawsze w przedziale otwartym nie będę miała ekstremum globalnych ponieważ funkcja dąży do pewnej wartości na krancach ale nigdy jej nie osiąga?
To zależy. Przecież nie zawsze wartości największe/najmniejsze są przyjmowane na krańcach.

JK
Madzzia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 12 mar 2021, o 12:54
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 21 razy

Re: Ekstrema funkcji.

Post autor: Madzzia »

To zależy. Przecież nie zawsze wartości największe/najmniejsze są przyjmowane na krańcach.
Chodziło mi o taką sytuację:
\(\displaystyle{ f(x)=x^2}\) dla \(\displaystyle{ x \in (4,6)}\)
W takim przypadku w podanym przedziale funkcja f nie? ma ekstremów globalnych prawda? Ponieważ w podanym przedziale funkcja f(x) jest monotoniczna, i na krańcach przedziałów jedynie dąży do pewnych wartości ale ich nie osiąga.
Czy moje rozumowanie jest poprawne
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Ekstrema funkcji.

Post autor: Jan Kraszewski »

Madzzia pisze: 16 mar 2021, o 17:02 Czy moje rozumowanie jest poprawne
Tak.

JK
Madzzia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 12 mar 2021, o 12:54
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 21 razy

Re: Ekstrema funkcji.

Post autor: Madzzia »

Dziękuję bardzo za pomoc!!!
ODPOWIEDZ