ekstremum funkcji

[major37]

Na wykresie funkcji \(\displaystyle{ y=\frac{1}{4}x^4+ x^3 -5x^2 -22x +50 }\) znajdź współrzędne punktu \(\displaystyle{ A}\), którego odległość od prostej o równaniu \(\displaystyle{ y=2x-22}\) jest najmniejsza. Korzystamy z wzoru odległość punktu od prostej, ale najpierw przekształćmy naszą prostą \(\displaystyle{ 2x-y-22=0}\) i liczymy. Co jest ciekawe, że jeżeli przekształcimy prostą do takiej postaci \(\displaystyle{ -2x+y+22=0}\), to otrzymujemy zupełnie inny wynik. Początek jest taki sam, bo tylko wynik w module ma inne znaki. Zgadza się ? Co za tym idzie mam inną funkcje w liczniku, gdzie będziemy liczyć ekstrema. Mimo, że miejsca zerowe wychodzą takie same dla obu funkcji, to dlaczego jest inne ekstremum. Przez ten moduł, czy co ? Nie rozumiem tego. Proszę o pomoc.

[Jan Kraszewski]

Nie zgadza się. Zmiana sposobu zapisania równania prostej niczego nie zmienia.

Nie wiem, co masz na myśli pisząc "mam inną funkcje w liczniku". Może pokaż jakieś rachunki.

JK

[major37]

Weźmy prostą \(\displaystyle{ 2x-y-22=0}\), to teraz odległość punktu od prostej dana jest wzorem \(\displaystyle{ d=\frac{|- \frac{1}{4}x^4-x^3+5x^2+24x-72|}{\sqrt{5}}}\), ogólnie, to punkt A ma takie współrzędne \(\displaystyle{ A=(x, \frac{1}{4}x^4+x^3-5x^2-22x+50) }\). Teraz mogę policzyć pochodną co jest pod modułem i wyszły mi miejsca zerowe pochodnej \(\displaystyle{ -4,-2}\) i \(\displaystyle{ 3}\). Więc wychodzi, że minimum lokalnym jest liczba \(\displaystyle{ -2}\). Bo liczyłem pochodną tego pod modułem i dalej miejsca zerowe pochodnej. Co jest źle ?

[Jan Kraszewski]

A kto ci pozwolił badać tylko funkcję pod modułem? Przecież moduł może wszystko zmienić - porównaj funkcję \(\displaystyle{ f(x)=x^2-1}\) z funkcją \(\displaystyle{ f(x)=\left| x^2-1\right| }\).

JK

[JHN]

Ja bym spróbował rozwiązać równanie \(\displaystyle{ y'=2}\), czyli znaleźć punkty wykresu, w których styczna jest równoległa do danej prostej... Będzie ich co najwyżej trzy, pozostanie weryfikacja - który z nich jest najbliżej...

Pozdrawiam
PS. Uzasadnienie - ze schludnego rysunku!

[edited]

Odpowiedź:    

Spośród \(\displaystyle{ x\in\{-4,-2,3\}}\) odległość \(\displaystyle{ (3,f(3))}\) od danej prostej jest najmniejsza

[major37]

To do Pana Jana K. No właśnie z tego co Pan napisał, to te dwie funkcje zaprezentowane przez Pana mają dwie różne wartości najmniejsze. Dla pierwszej ta wartość to -1, a dla drugiej, to 0. W moim przykładzie wiem, że ten cały licznik z modułem mu być jak najmniejszy, ale co dalej ? Więc wartość najmniejsza będzie zawsze zero jeżeli jest moduł, bo \(\displaystyle{ |f(x)|}\) ta funkcja nigdy nie jest poniżej osi X.

Dodano po 31 minutach 20 sekundach:

Ja bym spróbował rozwiązać równanie \(\displaystyle{ y'=2}\), czyli znaleźć punkty wykresu, w których styczna jest równoległa do danej prostej... Będzie ich co najwyżej trzy, pozostanie weryfikacja - który z nich jest najbliżej...

Pozdrawiam
PS. Uzasadnienie - ze schludnego rysunku!

[edited]

Odpowiedź:    

Spośród \(\displaystyle{ x\in\{-4,-2,3\}}\) odległość \(\displaystyle{ (3,f(3))}\) od danej prostej jest najmniejsza

A skąd się wzięło to równanie Twoje ? \(\displaystyle{ y'=2}\)

[JHN]

A skąd się wzięło to równanie Twoje ? \(\displaystyle{ y'=2}\)

Przesuwam daną prostą równolegle aż do styczności z wykresem danej prostej. Czyli, jak pisałem, pochodna w szukanym punkcie musi być dwójką!

Pozdrawiam

[janusz47]

1.
Współrzędne punktu \(\displaystyle{ A = \left(x, \ \ \frac{1}{4}x^4 +x^3 -5x^2 -22x +50\right) }\)

2.
Odległość punktu \(\displaystyle{ A }\) od prostej \(\displaystyle{ y - 2x + 22 = 0 }\)

\(\displaystyle{ d = \frac{\left| \frac{1}{4}x^4 +x^3 -5x^2 - 22x + 50 - 2x +22\right|}{\sqrt{5}} = \frac{\left| \frac{1}{4}x^4 +x^3 -5x^2 -24x +72\right|}{\sqrt{5}}}\)

3.
Ekstrema lokalne funkcji \(\displaystyle{ g(x) = \frac{1}{4}x^4 + x^3 -5x^2 -24x +72 }\)

\(\displaystyle{ g'(x) = x^3 +3x^2 -10x -24 }\)

\(\displaystyle{ x^3 +3x^2 -10x -24 = 0 }\)

\(\displaystyle{ D(24) = \{ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12, \pm 24\}. }\)

\(\displaystyle{ g'(-2) = (-2)^3 +3\cdot (-2)^2 -10\cdot (-2) -24 = -8 +12 +20 -24 = -32 +32 = 0. }\)

\(\displaystyle{ (x^3 +3x^2 -10x -24) : (x+2) = x^2 +x -12 }\)

\(\displaystyle{ ( x+2)( x^2 +x -12 ) = (x+2) ( x+4) (x -3) = 0 }\)

\(\displaystyle{ (x+2)(x+4)(x-3) < 0 , \ \ x\in ( -\infty, \ \ -4) \cup (-2, \ \ 3) }\)

\(\displaystyle{ (x+2)(x+4)(x-3) >0, \ \ x\in (-4, \ \ -2) \cup (3, \ \ \infty)}\)

\(\displaystyle{ g_{min.lok.1} = g(-4) = \frac{1}{4}(-4)^4 + (-4)^3 - 5\cdot (-4)^2 -22\cdot (-4) + 50 = 64 -64 -80 +84 +50 = 54. }\)

\(\displaystyle{ g_{min.lok. 2} = g(3) = \frac{1}{4}\cdot 3^4 + 3^3 -5\cdot 3^2 -22\cdot 3 +50 = -\frac{55}{4}. }\)

\(\displaystyle{ A^{*} = \left( 3, - \frac{55}{4} \right). }\)

Opierając się na powyższym rozwiązaniu proszę zbadać minima lokalne funkcji \(\displaystyle{ h(x) = -g (x). }\)

[Jan Kraszewski]

Więc wartość najmniejsza będzie zawsze zero jeżeli jest moduł,

Niekoniecznie. Masz dwie możliwości: albo ta prosta przecina wykres tej funkcji, albo nie. Jeżeli przecina, to najmniejsza odległość to oczywiście zero. Jeżeli nie przecina, to wyrażenie pod modułem ma stały znak - w zależności od tego, którą postać równania prostej przyjmiesz, będzie albo stale dodatnie, albo stale ujemne, więc uwzględnieniu modułu dostaniesz dokładnie to samo wyrażenie, które optymalizujesz. Zatem nie ma znaczenia, którą postać równania prostej rozważasz, w końcu i tak sprowadza się to do badania tej samej funkcji.

JK

[a4karo]

1.
Współrzędne punktu \(\displaystyle{ A = \left(x, \ \ \frac{1}{4}x^4 +x^3 -5x^2 -22x +50\right) }\)

2.
Odległość punktu \(\displaystyle{ A }\) od prostej \(\displaystyle{ y - 2x + 22 = 0 }\)

\(\displaystyle{ d = \frac{\left| \frac{1}{4}x^4 +x^3 -5x^2 - 22x + 50 - 2x +22\right|}{\sqrt{5}} = \frac{\left| \frac{1}{4}x^4 +x^3 -5x^2 -24x +72\right|}{\sqrt{5}}}\)

3.
Ekstrema lokalne funkcji \(\displaystyle{ g(x) = \frac{1}{4}x^4 + x^3 -5x^2 -24x +72 }\)

\(\displaystyle{ g'(x) = x^3 +3x^2 -10x -24 }\)

\(\displaystyle{ x^3 +3x^2 -10x -24 = 0 }\)

\(\displaystyle{ D(24) = \{ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12, \pm 24\}. }\)

\(\displaystyle{ g'(-2) = (-2)^3 +3\cdot (-2)^2 -10\cdot (-2) -24 = -8 +12 +20 -24 = -32 +32 = 0. }\)

\(\displaystyle{ (x^3 +3x^2 -10x -24) : (x+2) = x^2 +x -12 }\)

\(\displaystyle{ ( x+2)( x^2 +x -12 ) = (x+2) ( x+4) (x -3) = 0 }\)

\(\displaystyle{ (x+2)(x+4)(x-3) < 0 , \ \ x\in ( -\infty, \ \ -4) \cup (-2, \ \ 3) }\)

\(\displaystyle{ (x+2)(x+4)(x-3) >0, \ \ x\in (-4, \ \ -2) \cup (3, \ \ \infty)}\)

\(\displaystyle{ g_{min.lok.1} = g(-4) = \frac{1}{4}(-4)^4 + (-4)^3 - 5\cdot (-4)^2 -22\cdot (-4) + 50 = 64 -64 -80 +84 +50 = 54. }\)

\(\displaystyle{ g_{min.lok. 2} = g(3) = \frac{1}{4}\cdot 3^4 + 3^3 -5\cdot 3^2 -22\cdot 3 +50 = -\frac{55}{4}. }\)

\(\displaystyle{ A^{*} = \left( 3, - \frac{55}{4} \right). }\)

Opierając się na powyższym rozwiązaniu proszę zbadać minima lokalne funkcji \(\displaystyle{ h(x) = -g (x). }\)

Gdyby to wszystko było prawdą, to nie byłoby potrzeby dalszych rachunków: funkcja jest ujemna dla `x=3` i dodatnia dla `x=4`, więc z własności Darboux wynika, że gdzieś musi mieć wartość zero. Innymi słowy, prosta i krzywa przecinają się, więć ich odległość jest równa zero.

W rzeczywistości jednak jest inaczej. Prawidłowe rachunki to

\(\displaystyle{ g_{min.lok.1} = g(-4) = \frac{1}{4}(-4)^4 + (-4)^3 - 5\cdot (-4)^2 -22\cdot (-4) + 50 = 64 -64 -80 +88 +72 = 80. }\)

\(\displaystyle{ g_{min.lok. 2} = g(3) = \frac{1}{4}\cdot 3^4 + 3^3 -5\cdot 3^2 -22\cdot 3 +72= \frac{81}{4}+27-45-72+72=\frac94}\)

Stąd też wynika, że wartość funkcji w trzecim punkcie ekstremalnym jest większa niż `9/4`, a zatem najmniejszą wartością funkcji `g` jest `9/4`

@janusz47 prosze nie przepisuj ponownie Twojego rozwiązania z poprawkami.

[janusz47]

OCTAVE 6.1.0

Kod: Zaznacz cały

 
 >> (1/4)*(-4)^4 +(-4)^3 -5*(-4)^2-22*(-4)+50
ans = 58
>> (1/4)*3^4 +3^3 -5*3^2 -22*(3)+50
ans = -13.750 = -55/4

[a4karo]

To sobie przeczytaj, czym jest funkcja `g`.

Nie wstyd Ci do takich rachunków używać maszyny?