ekstremum funkcji
-
- Użytkownik
- Posty: 1631
- Rejestracja: 30 wrz 2010, o 13:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Witaszyce
- Podziękował: 288 razy
- Pomógł: 72 razy
ekstremum funkcji
Na wykresie funkcji \(\displaystyle{ y=\frac{1}{4}x^4+ x^3 -5x^2 -22x +50 }\) znajdź współrzędne punktu \(\displaystyle{ A}\), którego odległość od prostej o równaniu \(\displaystyle{ y=2x-22}\) jest najmniejsza. Korzystamy z wzoru odległość punktu od prostej, ale najpierw przekształćmy naszą prostą \(\displaystyle{ 2x-y-22=0}\) i liczymy. Co jest ciekawe, że jeżeli przekształcimy prostą do takiej postaci \(\displaystyle{ -2x+y+22=0}\), to otrzymujemy zupełnie inny wynik. Początek jest taki sam, bo tylko wynik w module ma inne znaki. Zgadza się ? Co za tym idzie mam inną funkcje w liczniku, gdzie będziemy liczyć ekstrema. Mimo, że miejsca zerowe wychodzą takie same dla obu funkcji, to dlaczego jest inne ekstremum. Przez ten moduł, czy co ? Nie rozumiem tego. Proszę o pomoc.
Ostatnio zmieniony 2 mar 2021, o 17:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
- Administrator
- Posty: 34244
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: ekstremum funkcji
Nie zgadza się. Zmiana sposobu zapisania równania prostej niczego nie zmienia.
Nie wiem, co masz na myśli pisząc "mam inną funkcje w liczniku". Może pokaż jakieś rachunki.
JK
Nie wiem, co masz na myśli pisząc "mam inną funkcje w liczniku". Może pokaż jakieś rachunki.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 1631
- Rejestracja: 30 wrz 2010, o 13:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Witaszyce
- Podziękował: 288 razy
- Pomógł: 72 razy
Re: ekstremum funkcji
Weźmy prostą \(\displaystyle{ 2x-y-22=0}\), to teraz odległość punktu od prostej dana jest wzorem \(\displaystyle{ d=\frac{|- \frac{1}{4}x^4-x^3+5x^2+24x-72|}{\sqrt{5}}}\), ogólnie, to punkt A ma takie współrzędne \(\displaystyle{ A=(x, \frac{1}{4}x^4+x^3-5x^2-22x+50) }\). Teraz mogę policzyć pochodną co jest pod modułem i wyszły mi miejsca zerowe pochodnej \(\displaystyle{ -4,-2}\) i \(\displaystyle{ 3}\). Więc wychodzi, że minimum lokalnym jest liczba \(\displaystyle{ -2}\). Bo liczyłem pochodną tego pod modułem i dalej miejsca zerowe pochodnej. Co jest źle ?
Ostatnio zmieniony 2 mar 2021, o 19:39 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
- Administrator
- Posty: 34244
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: ekstremum funkcji
A kto ci pozwolił badać tylko funkcję pod modułem? Przecież moduł może wszystko zmienić - porównaj funkcję \(\displaystyle{ f(x)=x^2-1}\) z funkcją \(\displaystyle{ f(x)=\left| x^2-1\right| }\).
JK
JK
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Re: ekstremum funkcji
Ja bym spróbował rozwiązać równanie \(\displaystyle{ y'=2}\), czyli znaleźć punkty wykresu, w których styczna jest równoległa do danej prostej... Będzie ich co najwyżej trzy, pozostanie weryfikacja - który z nich jest najbliżej...
Pozdrawiam
PS. Uzasadnienie - ze schludnego rysunku!
[edited]
Pozdrawiam
PS. Uzasadnienie - ze schludnego rysunku!
[edited]
Odpowiedź:
Ostatnio zmieniony 2 mar 2021, o 20:32 przez JHN, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 1631
- Rejestracja: 30 wrz 2010, o 13:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Witaszyce
- Podziękował: 288 razy
- Pomógł: 72 razy
Re: ekstremum funkcji
To do Pana Jana K. No właśnie z tego co Pan napisał, to te dwie funkcje zaprezentowane przez Pana mają dwie różne wartości najmniejsze. Dla pierwszej ta wartość to -1, a dla drugiej, to 0. W moim przykładzie wiem, że ten cały licznik z modułem mu być jak najmniejszy, ale co dalej ? Więc wartość najmniejsza będzie zawsze zero jeżeli jest moduł, bo \(\displaystyle{ |f(x)|}\) ta funkcja nigdy nie jest poniżej osi X.
Dodano po 31 minutach 20 sekundach:
Dodano po 31 minutach 20 sekundach:
A skąd się wzięło to równanie Twoje ? \(\displaystyle{ y'=2}\)JHN pisze: ↑2 mar 2021, o 20:13 Ja bym spróbował rozwiązać równanie \(\displaystyle{ y'=2}\), czyli znaleźć punkty wykresu, w których styczna jest równoległa do danej prostej... Będzie ich co najwyżej trzy, pozostanie weryfikacja - który z nich jest najbliżej...
Pozdrawiam
PS. Uzasadnienie - ze schludnego rysunku!
[edited]
Odpowiedź:
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Re: ekstremum funkcji
Przesuwam daną prostą równolegle aż do styczności z wykresem danej prostej. Czyli, jak pisałem, pochodna w szukanym punkcie musi być dwójką!
Pozdrawiam
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: ekstremum funkcji
1.
Współrzędne punktu \(\displaystyle{ A = \left(x, \ \ \frac{1}{4}x^4 +x^3 -5x^2 -22x +50\right) }\)
2.
Odległość punktu \(\displaystyle{ A }\) od prostej \(\displaystyle{ y - 2x + 22 = 0 }\)
\(\displaystyle{ d = \frac{\left| \frac{1}{4}x^4 +x^3 -5x^2 - 22x + 50 - 2x +22\right|}{\sqrt{5}} = \frac{\left| \frac{1}{4}x^4 +x^3 -5x^2 -24x +72\right|}{\sqrt{5}}}\)
3.
Ekstrema lokalne funkcji \(\displaystyle{ g(x) = \frac{1}{4}x^4 + x^3 -5x^2 -24x +72 }\)
\(\displaystyle{ g'(x) = x^3 +3x^2 -10x -24 }\)
\(\displaystyle{ x^3 +3x^2 -10x -24 = 0 }\)
\(\displaystyle{ D(24) = \{ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12, \pm 24\}. }\)
\(\displaystyle{ g'(-2) = (-2)^3 +3\cdot (-2)^2 -10\cdot (-2) -24 = -8 +12 +20 -24 = -32 +32 = 0. }\)
\(\displaystyle{ (x^3 +3x^2 -10x -24) : (x+2) = x^2 +x -12 }\)
\(\displaystyle{ ( x+2)( x^2 +x -12 ) = (x+2) ( x+4) (x -3) = 0 }\)
\(\displaystyle{ (x+2)(x+4)(x-3) < 0 , \ \ x\in ( -\infty, \ \ -4) \cup (-2, \ \ 3) }\)
\(\displaystyle{ (x+2)(x+4)(x-3) >0, \ \ x\in (-4, \ \ -2) \cup (3, \ \ \infty)}\)
\(\displaystyle{ g_{min.lok.1} = g(-4) = \frac{1}{4}(-4)^4 + (-4)^3 - 5\cdot (-4)^2 -22\cdot (-4) + 50 = 64 -64 -80 +84 +50 = 54. }\)
\(\displaystyle{ g_{min.lok. 2} = g(3) = \frac{1}{4}\cdot 3^4 + 3^3 -5\cdot 3^2 -22\cdot 3 +50 = -\frac{55}{4}. }\)
\(\displaystyle{ A^{*} = \left( 3, - \frac{55}{4} \right). }\)
Opierając się na powyższym rozwiązaniu proszę zbadać minima lokalne funkcji \(\displaystyle{ h(x) = -g (x). }\)
Współrzędne punktu \(\displaystyle{ A = \left(x, \ \ \frac{1}{4}x^4 +x^3 -5x^2 -22x +50\right) }\)
2.
Odległość punktu \(\displaystyle{ A }\) od prostej \(\displaystyle{ y - 2x + 22 = 0 }\)
\(\displaystyle{ d = \frac{\left| \frac{1}{4}x^4 +x^3 -5x^2 - 22x + 50 - 2x +22\right|}{\sqrt{5}} = \frac{\left| \frac{1}{4}x^4 +x^3 -5x^2 -24x +72\right|}{\sqrt{5}}}\)
3.
Ekstrema lokalne funkcji \(\displaystyle{ g(x) = \frac{1}{4}x^4 + x^3 -5x^2 -24x +72 }\)
\(\displaystyle{ g'(x) = x^3 +3x^2 -10x -24 }\)
\(\displaystyle{ x^3 +3x^2 -10x -24 = 0 }\)
\(\displaystyle{ D(24) = \{ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12, \pm 24\}. }\)
\(\displaystyle{ g'(-2) = (-2)^3 +3\cdot (-2)^2 -10\cdot (-2) -24 = -8 +12 +20 -24 = -32 +32 = 0. }\)
\(\displaystyle{ (x^3 +3x^2 -10x -24) : (x+2) = x^2 +x -12 }\)
\(\displaystyle{ ( x+2)( x^2 +x -12 ) = (x+2) ( x+4) (x -3) = 0 }\)
\(\displaystyle{ (x+2)(x+4)(x-3) < 0 , \ \ x\in ( -\infty, \ \ -4) \cup (-2, \ \ 3) }\)
\(\displaystyle{ (x+2)(x+4)(x-3) >0, \ \ x\in (-4, \ \ -2) \cup (3, \ \ \infty)}\)
\(\displaystyle{ g_{min.lok.1} = g(-4) = \frac{1}{4}(-4)^4 + (-4)^3 - 5\cdot (-4)^2 -22\cdot (-4) + 50 = 64 -64 -80 +84 +50 = 54. }\)
\(\displaystyle{ g_{min.lok. 2} = g(3) = \frac{1}{4}\cdot 3^4 + 3^3 -5\cdot 3^2 -22\cdot 3 +50 = -\frac{55}{4}. }\)
\(\displaystyle{ A^{*} = \left( 3, - \frac{55}{4} \right). }\)
Opierając się na powyższym rozwiązaniu proszę zbadać minima lokalne funkcji \(\displaystyle{ h(x) = -g (x). }\)
-
- Administrator
- Posty: 34244
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: ekstremum funkcji
Niekoniecznie. Masz dwie możliwości: albo ta prosta przecina wykres tej funkcji, albo nie. Jeżeli przecina, to najmniejsza odległość to oczywiście zero. Jeżeli nie przecina, to wyrażenie pod modułem ma stały znak - w zależności od tego, którą postać równania prostej przyjmiesz, będzie albo stale dodatnie, albo stale ujemne, więc uwzględnieniu modułu dostaniesz dokładnie to samo wyrażenie, które optymalizujesz. Zatem nie ma znaczenia, którą postać równania prostej rozważasz, w końcu i tak sprowadza się to do badania tej samej funkcji.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: ekstremum funkcji
Gdyby to wszystko było prawdą, to nie byłoby potrzeby dalszych rachunków: funkcja jest ujemna dla `x=3` i dodatnia dla `x=4`, więc z własności Darboux wynika, że gdzieś musi mieć wartość zero. Innymi słowy, prosta i krzywa przecinają się, więć ich odległość jest równa zero.janusz47 pisze: ↑2 mar 2021, o 22:13 1.
Współrzędne punktu \(\displaystyle{ A = \left(x, \ \ \frac{1}{4}x^4 +x^3 -5x^2 -22x +50\right) }\)
2.
Odległość punktu \(\displaystyle{ A }\) od prostej \(\displaystyle{ y - 2x + 22 = 0 }\)
\(\displaystyle{ d = \frac{\left| \frac{1}{4}x^4 +x^3 -5x^2 - 22x + 50 - 2x +22\right|}{\sqrt{5}} = \frac{\left| \frac{1}{4}x^4 +x^3 -5x^2 -24x +72\right|}{\sqrt{5}}}\)
3.
Ekstrema lokalne funkcji \(\displaystyle{ g(x) = \frac{1}{4}x^4 + x^3 -5x^2 -24x +72 }\)
\(\displaystyle{ g'(x) = x^3 +3x^2 -10x -24 }\)
\(\displaystyle{ x^3 +3x^2 -10x -24 = 0 }\)
\(\displaystyle{ D(24) = \{ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12, \pm 24\}. }\)
\(\displaystyle{ g'(-2) = (-2)^3 +3\cdot (-2)^2 -10\cdot (-2) -24 = -8 +12 +20 -24 = -32 +32 = 0. }\)
\(\displaystyle{ (x^3 +3x^2 -10x -24) : (x+2) = x^2 +x -12 }\)
\(\displaystyle{ ( x+2)( x^2 +x -12 ) = (x+2) ( x+4) (x -3) = 0 }\)
\(\displaystyle{ (x+2)(x+4)(x-3) < 0 , \ \ x\in ( -\infty, \ \ -4) \cup (-2, \ \ 3) }\)
\(\displaystyle{ (x+2)(x+4)(x-3) >0, \ \ x\in (-4, \ \ -2) \cup (3, \ \ \infty)}\)
\(\displaystyle{ g_{min.lok.1} = g(-4) = \frac{1}{4}(-4)^4 + (-4)^3 - 5\cdot (-4)^2 -22\cdot (-4) + 50 = 64 -64 -80 +84 +50 = 54. }\)
\(\displaystyle{ g_{min.lok. 2} = g(3) = \frac{1}{4}\cdot 3^4 + 3^3 -5\cdot 3^2 -22\cdot 3 +50 = -\frac{55}{4}. }\)
\(\displaystyle{ A^{*} = \left( 3, - \frac{55}{4} \right). }\)
Opierając się na powyższym rozwiązaniu proszę zbadać minima lokalne funkcji \(\displaystyle{ h(x) = -g (x). }\)
W rzeczywistości jednak jest inaczej. Prawidłowe rachunki to
\(\displaystyle{ g_{min.lok.1} = g(-4) = \frac{1}{4}(-4)^4 + (-4)^3 - 5\cdot (-4)^2 -22\cdot (-4) + 50 = 64 -64 -80 +88 +72 = 80. }\)
\(\displaystyle{ g_{min.lok. 2} = g(3) = \frac{1}{4}\cdot 3^4 + 3^3 -5\cdot 3^2 -22\cdot 3 +72= \frac{81}{4}+27-45-72+72=\frac94}\)
Stąd też wynika, że wartość funkcji w trzecim punkcie ekstremalnym jest większa niż `9/4`, a zatem najmniejszą wartością funkcji `g` jest `9/4`
@janusz47 prosze nie przepisuj ponownie Twojego rozwiązania z poprawkami.
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: ekstremum funkcji
OCTAVE 6.1.0
Kod: Zaznacz cały
>> (1/4)*(-4)^4 +(-4)^3 -5*(-4)^2-22*(-4)+50
ans = 58
>> (1/4)*3^4 +3^3 -5*3^2 -22*(3)+50
ans = -13.750 = -55/4