ruch punktu jest dany równaniami \(\displaystyle{ \quad x=2\sin t,\quad y=\sin2t }\)
mam wyznaczyć dla jakich \(\displaystyle{ \; t\;}\) tor osiąga największą i najmniejszą wysokość.
Pochodna:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}:\frac{dx}{dt}=\frac{2\cos2t}{2\cos t}=\frac{\cos2t}{\cos t}=0\quad\Longleftrightarrow\quad t=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2} \qquad k\in\mathbb{Z}}\)
\(\displaystyle{ \cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\right)=
\left\{
\begin{array}{rl}
\frac{\sqrt{2}}{2}&\textrm{dla }\quad 4k\\
-\frac{\sqrt{2}}{2}&\textrm{dla}\quad 4k+1\\
-\frac{\sqrt{2}}{2}&\textrm{dla}\quad 4k+2\\
\frac{\sqrt{2}}{2}&\textrm{dla}\quad 4k+3
\end{array}\right.
}\)
Rozpatruję więc cztery przypadki
1. dla 4k mamy \(\displaystyle{ \quad t=\frac{\pi}{4}+2k\pi}\)
\(\displaystyle{ \cos t>0}\) i \(\displaystyle{ \; \cos2t\;}\) zmienia znak z \(\displaystyle{ +}\) na \(\displaystyle{ -\;}\), zatem to maksimum.
2. dla 4k+1 mamy \(\displaystyle{ \quad t=\frac{3\pi}{4}+2k\pi}\)
\(\displaystyle{ \cos t<0}\) i \(\displaystyle{ \;\cos2t\;}\) zmienia znak z \(\displaystyle{ -}\) na \(\displaystyle{ +\;}\), zatem to maksimum.
3. dla 4k+2 mamy \(\displaystyle{ \quad t=\frac{5\pi}{4}+2k\pi}\)
\(\displaystyle{ \cos t<0}\) i \(\displaystyle{ \;\cos2t\;}\) zmienia znak z \(\displaystyle{ +}\) na \(\displaystyle{ -\;}\), zatem to minimum.
4. dla 4k+3 mamy \(\displaystyle{ \quad t=\frac{7\pi}{4}+2k\pi}\)
\(\displaystyle{ \cos t>0}\) i \(\displaystyle{ \;\cos2t\;}\) zmienia znak z \(\displaystyle{ -}\) na \(\displaystyle{ +\;}\), zatem to minimum.
W odpowiedziach zaś jest maksimum dla \(\displaystyle{ \quad t=\frac{\pi}{4}+k\pi\;}\) a minimum dla \(\displaystyle{ \quad t=\frac{3\pi}{4}+k\pi\;}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}}\)
Z góry dziękuję
