chciałbym policzyć transmitancję operatorową dla systemu (wózek z wahadłem odwrotnym) opisanego poniższy systemem równań różniczkowych:
\(\displaystyle{
\begin{align*}
M\frac{dv(t)}{dt} &= -mg\theta(t) + u(t) \\
m\frac{dv(t)}{dt} + ml \frac{d^2\theta(t)}{dt^2} &= mg\theta(t)
\end{align*}
}\)
\(\displaystyle{ u(t)}\) - siła zew. działająca na wózek
\(\displaystyle{ v(t)}\) - prędkość wózka
\(\displaystyle{ \theta(r)}\) - kąt pomiędzy wahadłem a płaszczyzną pionową, prostopadłą do tej, po której porusza się wózek.
Transmitancja operatorowa dana jest poniższym wzorem:
\begin{align*}
M\frac{dv(t)}{dt} &= -mg\theta(t) + u(t) \\
m\frac{dv(t)}{dt} + ml \frac{d^2\theta(t)}{dt^2} &= mg\theta(t)
\end{align*}
}\)
\(\displaystyle{ u(t)}\) - siła zew. działająca na wózek
\(\displaystyle{ v(t)}\) - prędkość wózka
\(\displaystyle{ \theta(r)}\) - kąt pomiędzy wahadłem a płaszczyzną pionową, prostopadłą do tej, po której porusza się wózek.
\(\displaystyle{
H(s) = \frac{\theta(s)}{U(s)} = \frac{\mathscr{L} {\theta(t)}}{u(t)}
}\)
Podstawiając drugie równanie do pierwszego otrzymujemy funkcję \(\displaystyle{ u(t)}\):H(s) = \frac{\theta(s)}{U(s)} = \frac{\mathscr{L} {\theta(t)}}{u(t)}
}\)
\(\displaystyle{
u(t) = M\frac{dv(t)}{dt} + m\frac{dv(t)}{dt} + ml \frac{d^2\theta(t)}{d^2t}
}\)
Pytanie - jak wyprowadzić wzór na \(\displaystyle{ \theta(t)}\)? Jeśli podzielę lewą stronę drugiego równania przez \(\displaystyle{ mg}\) - po dwóch stronach będę miał wyrażenia z \(\displaystyle{ \theta}\). u(t) = M\frac{dv(t)}{dt} + m\frac{dv(t)}{dt} + ml \frac{d^2\theta(t)}{d^2t}
}\)
Innym sposobem, na który wpadłem jest podstawienie lewej strony równania drugiego do prawej strony równania pierwszego i uporządkowania w następujący sposób:
\(\displaystyle{
\begin{align*}
u(t) - M\frac{dv(t)}{dt} - m\frac{dv(t)}{dt}= ml \frac{d^2\theta(t)}{d^2t} \\
u(t) - (M-m)\frac{dv(t)}{dt} = ml \frac{d^2\theta(t)}{d^2t}
\end{align*}
}\)
Następnie stosujemy obustronnie transformatę Laplaca i ostatecznie otrzymujemy:
\begin{align*}
u(t) - M\frac{dv(t)}{dt} - m\frac{dv(t)}{dt}= ml \frac{d^2\theta(t)}{d^2t} \\
u(t) - (M-m)\frac{dv(t)}{dt} = ml \frac{d^2\theta(t)}{d^2t}
\end{align*}
}\)
\(\displaystyle{
\begin{align*}
H(s) &= \frac{\mathscr{L}(ml \frac{d^2\theta(t)}{d^2t})}{\mathscr{L}(u(t) - (M-m)\frac{dv(t)}{dt})} \\
&=\frac{ml \theta(t) \cdot s^2}{U(s) - (M-m)V(s) \cdot s}
\end{align*}
}\)
Nie podoba mi się to \(\displaystyle{ U(s)}\)w mianowniku...\begin{align*}
H(s) &= \frac{\mathscr{L}(ml \frac{d^2\theta(t)}{d^2t})}{\mathscr{L}(u(t) - (M-m)\frac{dv(t)}{dt})} \\
&=\frac{ml \theta(t) \cdot s^2}{U(s) - (M-m)V(s) \cdot s}
\end{align*}
}\)
Czy idę dobrym tropem? Jak powinno się to rozwiązać?