Transmitancja operatorowa

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
mateuszko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 2 lut 2021, o 12:38
Płeć: Mężczyzna
wiek: 32
Podziękował: 4 razy

Transmitancja operatorowa

Post autor: mateuszko »

Dzień dobry,

chciałbym policzyć transmitancję operatorową dla systemu (wózek z wahadłem odwrotnym) opisanego poniższy systemem równań różniczkowych:
\(\displaystyle{
\begin{align*}
M\frac{dv(t)}{dt} &= -mg\theta(t) + u(t) \\
m\frac{dv(t)}{dt} + ml \frac{d^2\theta(t)}{dt^2} &= mg\theta(t)
\end{align*}
}\)


\(\displaystyle{ u(t)}\) - siła zew. działająca na wózek
\(\displaystyle{ v(t)}\) - prędkość wózka
\(\displaystyle{ \theta(r)}\) - kąt pomiędzy wahadłem a płaszczyzną pionową, prostopadłą do tej, po której porusza się wózek.
Transmitancja operatorowa dana jest poniższym wzorem:
\(\displaystyle{
H(s) = \frac{\theta(s)}{U(s)} = \frac{\mathscr{L} {\theta(t)}}{u(t)}
}\)
Podstawiając drugie równanie do pierwszego otrzymujemy funkcję \(\displaystyle{ u(t)}\):
\(\displaystyle{
u(t) = M\frac{dv(t)}{dt} + m\frac{dv(t)}{dt} + ml \frac{d^2\theta(t)}{d^2t}
}\)
Pytanie - jak wyprowadzić wzór na \(\displaystyle{ \theta(t)}\)? Jeśli podzielę lewą stronę drugiego równania przez \(\displaystyle{ mg}\) - po dwóch stronach będę miał wyrażenia z \(\displaystyle{ \theta}\).

Innym sposobem, na który wpadłem jest podstawienie lewej strony równania drugiego do prawej strony równania pierwszego i uporządkowania w następujący sposób:
\(\displaystyle{
\begin{align*}
u(t) - M\frac{dv(t)}{dt} - m\frac{dv(t)}{dt}= ml \frac{d^2\theta(t)}{d^2t} \\
u(t) - (M-m)\frac{dv(t)}{dt} = ml \frac{d^2\theta(t)}{d^2t}
\end{align*}
}\)
Następnie stosujemy obustronnie transformatę Laplaca i ostatecznie otrzymujemy:
\(\displaystyle{
\begin{align*}
H(s) &= \frac{\mathscr{L}(ml \frac{d^2\theta(t)}{d^2t})}{\mathscr{L}(u(t) - (M-m)\frac{dv(t)}{dt})} \\
&=\frac{ml \theta(t) \cdot s^2}{U(s) - (M-m)V(s) \cdot s}
\end{align*}
}\)
Nie podoba mi się to \(\displaystyle{ U(s)}\)w mianowniku...

Czy idę dobrym tropem? Jak powinno się to rozwiązać?
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Transmitancja operatorowa

Post autor: Janusz Tracz »

mateuszko pisze: 8 lut 2021, o 20:00 Transmitancja operatorowa dana jest poniższym wzorem:
\(\displaystyle{
H(s) = \frac{\theta(s)}{U(s)} = \frac{\mathscr{L} {\theta(t)}}{u(t)}
}\)
Polemizował bym. Abstrahując już od dość mylącego (miejscami błędnego zapisu brakuje \(\displaystyle{ \mathscr{L}}\)) transmitancja to funkcja zdefiniowana następująco:

\(\displaystyle{ \mathcal{H}\left( s\right)= \frac{\mathscr{L} \left( \text{odpowiedź}\right) }{\mathscr{L} \left( \text{wymuszenie}\right) } }\)

Ale jeśli układ ma kilka wejść i wyjść to można określić całą macierz transmitancji. W naturalny sposób biorą transmitancję \(\displaystyle{ \mathcal{H}_{i,j}\left( s\right)}\) jako elementy ten macierzy. Występuje tam stosunek transformat każdego wyjścia do każdego wejścia (wymuszenia). Opisany przez Ciebie przykład wydaje się mieć jedno wejście, funkcję \(\displaystyle{ u}\) i dwa wyjścia \(\displaystyle{ \theta}\) oraz \(\displaystyle{ v}\). Zatem mamy dwie transmitancje:

\(\displaystyle{ \mathcal{H}_{\theta}\left( s\right)= \frac{\mathscr{L} \left( \theta \right) }{\mathscr{L} \left( u \right) } }\)

\(\displaystyle{ \mathcal{H}_{v}\left( s\right)= \frac{\mathscr{L} \left( v \right) }{\mathscr{L} \left( u \right) } }\)

By je policzyć potraktował bym układów równań transformatą \(\displaystyle{ \mathscr{L}}\). Oczywiście zachodzi znany wzór na transformatę pochodnej:

\(\displaystyle{ \mathscr{L} \left( f'\right) =s\mathscr{L}(f)-f(0^{+})}\)

\(\displaystyle{ \mathscr{L}(f'')=s^{2}\mathscr{L}(f)-sf(0^{+})-f'(0^{+})}\)

\(\displaystyle{ \mathscr{L}\left( f^{(n)}\right) =s^{n}\mathscr{L}(f)-\sum _{k=1}^{n}s^{n-k}f^{(k-1)}(0^{+})}\)

Ale co bardzo ważne! Transmitancję definiuje się jedynie dla układów liniowych z zerowymi warunkami początkowymi więc, gdy mowa transmitancji najczęściej zobaczysz już uproszczony wzór na transformatę pochodnej tj.:

\(\displaystyle{ \mathscr{L}\left( f^{(n)}\right) =s^{n}\mathscr{L}(f)}\)

Zatem równania:

\(\displaystyle{ M\frac{\dd v }{\dd t} = -mg\theta + u}\)

\(\displaystyle{ m\frac{\dd v}{\dd t} + ml \frac{\dd^2\theta }{\dd t^2} = mg\theta }\)

przy założeniu, że \(\displaystyle{ \mathscr{L}\left( \theta\right) =\Theta}\) oraz \(\displaystyle{ \mathscr{L}\left( v\right) =V}\) oraz \(\displaystyle{ \mathscr{L}\left( u\right) =U}\) obkładamy transformatą i dostajemy:

\(\displaystyle{ MsV= -mg\Theta + U}\)

\(\displaystyle{ msV + mls^2 \Theta = mg\Theta }\)

dzieląc te równania przez \(\displaystyle{ U}\) dostajemy:

\(\displaystyle{ Ms \frac{V}{U} = -mg \frac{\Theta}{U} + 1}\)

\(\displaystyle{ ms\frac{V}{U} + mls^2 \frac{\Theta}{U} = mg\frac{\Theta}{U} }\)

no i jesteśmy w domu bo teraz trzeba sobie przypomnieć, że \(\displaystyle{ V/U}\) to \(\displaystyle{ \mathcal{H}_{v}\left( s\right)}\), oraz \(\displaystyle{ \Theta/U}\) to \(\displaystyle{ \mathcal{H}_{\theta}\left( s\right)}\). Zatem mamy układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. No i po kilku przekształceniach mamy, że:

\(\displaystyle{ \mathcal{H}_{\theta}\left( s\right)= \frac{\Theta}{U} = \frac{1}{ \frac{M}{m} \left( mg-mls^2\right)+1 }= \frac{1}{-Mls^2+Mg+1} }\)

\(\displaystyle{ \mathcal{H}_{v}\left( s\right)= \frac{V}{U} = \frac{-mg \cdot \left( \frac{1}{ \frac{M}{m} \left( mg-mls^2\right)+1 }\right) +1}{ Ms} = \frac{-Mls^2+Mg-mg+1}{-M^2ls^3+M^2gs+Ms} }\)
mateuszko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 2 lut 2021, o 12:38
Płeć: Mężczyzna
wiek: 32
Podziękował: 4 razy

Re: Transmitancja operatorowa

Post autor: mateuszko »

Teraz już rozumiem. Serdecznie dziękuję.
ODPOWIEDZ