Liczenie pochodnej sinusa,logarytmu...itp. z definicji- pytanie ogólne

[kmno4]

Witam wszystkich.

Co jakiś czas przypominam sobie o problemie, który sam sobie kiedyś wymyśliłem
i na który nie znalazłem jak dotąd odpowiedzi. Zarejestrowałem się tutaj z nadzieją na jego rozwiązanie
Będę używał tylko symbolu (operatora) "sin", ale pytanie dotyczy każdej funkcji, która nie jest wielomianem.
Definicja pochodnej jaka jest, każdy wie. Z liczeniem pochodnej dla wielomianów z definicji, nie ma problemów. Natomiast przy próbie liczenia pochodnej np. sin(x), dostaje się na "końcu" zagwozdkę, w postaci np. \(\displaystyle{ \lim_{t \to 0 }\frac{\sin t}{t}}\)
I tutaj jest problem. Granica nie wie, co znaczą literki "sin".
No ale przecież wiadomo, że ta granica = 1. Fajnie, tylko skąd to wiadomo ?
Przykładowe wymijające odpowiedzi : z twierdzenia (reguły) de l'Hospitala, lub ze znajomości rozwinięcia sin(x) w szereg potęgowy.
Tylko że de l'Hospital wymaga policzenia (znajomości) pochodnej, którą właśnie chcemy policzyć, ha.
Rozwinięcie w szereg ? Proszę bardzo, tylko że musimy znowu znać pochodną (pochodne), którą chcemy policzyć.
Tutaj schodzimy z problemem w dół, czyli do definicji funkcji sinus i tutaj zaczyna kończyć się moja skromna matematyczna wiedza. Czy istnieje jakiś sposób, aby z geometrii wywnioskować (obliczyć ?) jak
wygląda rozwinięcie funkcji sinus w szereg potęgowy ? Wikipedia twierdzi, że tak:

Using only geometry and properties of limits, it can be shown that the derivative of sine is cosine, and that the derivative of cosine is the negative of sine.

Dalszy wywód jest dla mnie kompletnie niejasny ( oraz niepełny) i nie będę go cytował. Znalazłem jeszcze jedną czy dwie próby zmierzenia się z tym problemem w "internecie" ale - jak na mój gust - bez powodzenia.
Twierdząca odpowiedź na pytanie powyżej, automatycznie rozwiązuje problem liczenia pochodnych funkcji trygonometrycznych.
Może ktoś zna to magiczne powiązanie geometrii w wersji trygonometrycznej z szeregiem potęgowym ?
Może jednak istnieje jakaś analityczny sposób aby uzyskać rozwinięcie tej funkcji w szereg, BEZ używania pochodnych ?
A może problem należy ugryźć z zupełnie innej strony ? Może jakiś trik z funkcją wykładniczą i liczbami zespolonymi ?

ps. zastosowałem się do starej maksymy UT(F)SE ale na tym forum nic ciekawego na ten temat nie znalazłem

[Premislav]

Pamiętam, że wyprowadzenie tej granicy zaprezentowano .

[Kartezjusz]

Wyjdź z definicji radiana Jak sobie narysujesz trójkąt prostokątny i wyprowadzisz łuk o promieniu równym przeciwprostokątnej i środku w wierzchołku kego kata \(\displaystyle{ t}\). Analizujemy stosunek długości tego łuku i odcinka mu przypisanego.

[Elvis]

Przykładowe wymijające odpowiedzi : z twierdzenia (reguły) de l'Hospitala, lub ze znajomości rozwinięcia sin(x) w szereg potęgowy.
Tylko że de l'Hospital wymaga policzenia (znajomości) pochodnej, którą właśnie chcemy policzyć, ha.

Brawo! Byłbym szczęśliwym człowiekiem, gdyby wszyscy moi studenci zachowywali taki trzeźwy dystans do reguły de l'Hospitala.

Rozwinięcie w szereg ? Proszę bardzo, tylko że musimy znowu znać pochodną (pochodne), którą chcemy policzyć.
Tutaj schodzimy z problemem w dół, czyli do definicji funkcji sinus i tutaj zaczyna kończyć się moja skromna matematyczna wiedza.

Bardzo słusznie piszesz. Nie tylko Twoja wiedza się tutaj kończy, tylko wiedza po prostu. W którymś momencie trzeba zwyczajnie zdecydować się, co przyjmiemy za definicję sinusa, a co za jego własności, które będziemy wyprowadzać z przyjętej definicji. Gdy byłem na pierwszym semestrze studiów, sinus był definiowany właśnie jako granica szeregu potęgowego. Jest to trochę odwrócenie kota ogonem, ale bardzo wygodne odwrócenie. Tak robi np.

Kod: Zaznacz cały

https://www.mimuw.edu.pl/~pawelst/analiza/Analiza_Matematyczna_1/Notatki_itp./Archiwum_files/skryptAM1-2010-11-ver01.010c.pdf

, który zresztą polecam.

Czy istnieje jakiś sposób, aby z geometrii wywnioskować (obliczyć ?) jak
wygląda rozwinięcie funkcji sinus w szereg potęgowy ?

Oczywiście trzeba być uważnym, co tutaj przyjmujemy za definicję. Jeśli sinus i tangens są zdefiniowane jak

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcje_trygonometryczne#Definicja_na_okr%C4%99gu_jednostkowym_i_etymologia_nazw

, czyli:
- kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) to długość łuku od \(\displaystyle{ (1,0)}\) do ustalonego punktu \(\displaystyle{ A}\) na okręgu jednostkowym,
- \(\displaystyle{ \sin \alpha}\) to odległość punktu \(\displaystyle{ A}\) od osi X,
- \(\displaystyle{ \tan \alpha}\) to długość odcinka stycznej od \(\displaystyle{ A}\) do osi X,
to można wykazać, że \(\displaystyle{ 0 < \sin \alpha < \alpha < \tan \alpha}\) (dla dodatniego \(\displaystyle{ \alpha}\)). Samo to jest już nietrywialne, bo wymaga zdefiniowania, co rozumiemy przez długość łuku. Ale jeśli mamy to za sobą, to
\(\displaystyle{ 1 \leftarrow \cos \alpha \leq \frac{\tan \alpha}{\alpha} \cdot \cos \alpha = \frac{\sin \alpha}{\alpha} \le 1,}\)
a więc \(\displaystyle{ \frac{\sin \alpha}{\alpha} \to 1}\) z twierdzenia o trzech ciągach (albo trzech funkcjach). Skorzystaliśmy tu oczywiście z granicy \(\displaystyle{ \cos \alpha \to 1}\) przy \(\displaystyle{ \alpha \to 0}\).

Dalej jest już łatwo. Jeśli znamy pochodną sinusa w zerze, to ze wzoru na sinus sumy \(\displaystyle{ \sin(x+h) = \sin x \cos h + \sin h \cos x}\) wnioskujemy, że pochodną sinusa jest cosinus. Z tego samego wzoru możemy też odczytać, że cosinus to po prostu sinus przesunięty o \(\displaystyle{ \pi/2}\), a więc \(\displaystyle{ \sin'(x) = \sin(x + \frac{\pi}{2})}\). Stąd już można obliczyć wszystkie kolejne pochodne sinusa w zerze, co pozwala uzasadnić zbieżność odpowiedniego szeregu potęgowego do funkcji sinus.

Może jednak istnieje jakaś analityczny sposób aby uzyskać rozwinięcie tej funkcji w szereg, BEZ używania pochodnych ?
A może problem należy ugryźć z zupełnie innej strony ? Może jakiś trik z funkcją wykładniczą i liczbami zespolonymi ?

Takim właśnie trikiem jest "odwrócenie kota ogonem", o którym pisałem wcześniej. Funkcję wykładniczą definiuje się wprost jako szereg potęgowy; tutaj literatura jest chyba w większości zgodna. Jeśli tylko sprawdzić (co nie jest trudne), że dla \(\displaystyle{ t}\) rzeczywistego liczba \(\displaystyle{ \exp(it)}\) ma moduł \(\displaystyle{ 1}\) (czyli leży na okręgu jednostkowym), to nic nie stoi na przeszkodzie, by \(\displaystyle{ \cos(t)}\) i \(\displaystyle{ \sin(t)}\) zdefiniować jako część rzeczywistą i urojoną tej liczby. A następnie zdefiniować \(\displaystyle{ 2\pi}\) jako najmniejsze \(\displaystyle{ t>0}\), dla którego \(\displaystyle{ \exp(it)}\) trafi z powrotem w jedynkę.