Co jakiś czas przypominam sobie o problemie, który sam sobie kiedyś wymyśliłem
i na który nie znalazłem jak dotąd odpowiedzi. Zarejestrowałem się tutaj z nadzieją na jego rozwiązanie
Będę używał tylko symbolu (operatora) "sin", ale pytanie dotyczy każdej funkcji, która nie jest wielomianem.
Definicja pochodnej jaka jest, każdy wie. Z liczeniem pochodnej dla wielomianów z definicji, nie ma problemów. Natomiast przy próbie liczenia pochodnej np. sin(x), dostaje się na "końcu" zagwozdkę, w postaci np. \(\displaystyle{ \lim_{t \to 0 }\frac{\sin t}{t}}\)
I tutaj jest problem. Granica nie wie, co znaczą literki "sin".
No ale przecież wiadomo, że ta granica = 1. Fajnie, tylko skąd to wiadomo ?
Przykładowe wymijające odpowiedzi : z twierdzenia (reguły) de l'Hospitala, lub ze znajomości rozwinięcia sin(x) w szereg potęgowy.
Tylko że de l'Hospital wymaga policzenia (znajomości) pochodnej, którą właśnie chcemy policzyć, ha.
Rozwinięcie w szereg ? Proszę bardzo, tylko że musimy znowu znać pochodną (pochodne), którą chcemy policzyć.
Tutaj schodzimy z problemem w dół, czyli do definicji funkcji sinus i tutaj zaczyna kończyć się moja skromna matematyczna wiedza. Czy istnieje jakiś sposób, aby z geometrii wywnioskować (obliczyć ?) jak
wygląda rozwinięcie funkcji sinus w szereg potęgowy ? Wikipedia twierdzi, że tak:
Dalszy wywód jest dla mnie kompletnie niejasny ( oraz niepełny) i nie będę go cytował. Znalazłem jeszcze jedną czy dwie próby zmierzenia się z tym problemem w "internecie" ale - jak na mój gust - bez powodzenia.Using only geometry and properties of limits, it can be shown that the derivative of sine is cosine, and that the derivative of cosine is the negative of sine.
Twierdząca odpowiedź na pytanie powyżej, automatycznie rozwiązuje problem liczenia pochodnych funkcji trygonometrycznych.
Może ktoś zna to magiczne powiązanie geometrii w wersji trygonometrycznej z szeregiem potęgowym ?
Może jednak istnieje jakaś analityczny sposób aby uzyskać rozwinięcie tej funkcji w szereg, BEZ używania pochodnych ?
A może problem należy ugryźć z zupełnie innej strony ? Może jakiś trik z funkcją wykładniczą i liczbami zespolonymi ?
ps. zastosowałem się do starej maksymy UT(F)SE ale na tym forum nic ciekawego na ten temat nie znalazłem