Parametryzacja łukowa krzywej regularnej - dowód

[mat123]

Dlaczego poniższy dowód twierdzenia, że każdą krzywą regularną można sparametryzować łukowo nie jest kompletny?

(Dokładniej: jeżeli \(\displaystyle{ \gamma: I \mapsto \mathbb{R}^{n} }\) jest taka, że \(\displaystyle{ \gamma ' \neq 0}\), to istnieje funkcja \(\displaystyle{ \varphi: J \mapsto I}\) klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{\infty}}\) oraz \(\displaystyle{ \varphi ' \neq 0}\) dla pewnego przedziału \(\displaystyle{ J}\) taka, że \(\displaystyle{ \widetilde{\gamma}=\gamma \circ \varphi}\) jest parametryzacją łukową.)


Niech \(\displaystyle{ t_{0}\in I.}\) Definiuję funkcję \(\displaystyle{ s(t)}\) w następujący sposób: \(\displaystyle{ s(t)= \int_{t_{0}}^{t}||\gamma ' (u)|| du }\), dla \(\displaystyle{ t\in I}\). Stąd \(\displaystyle{ s'(t)=||\gamma ' (t)||.}\)
Niech \(\displaystyle{ J=s(I)}\), ponieważ \(\displaystyle{ s}\) jest ciągła, to \(\displaystyle{ J}\) jest przedziałem. Ponadto \(\displaystyle{ s}\) jest rosnąca, więc istnieje funkcja odwrotna \(\displaystyle{ s^{-1}:=\varphi}\). Oznaczamy \(\displaystyle{ \widetilde{\gamma}(s)=\varphi \circ \gamma}\), wtedy

\(\displaystyle{ ||\widetilde{\gamma'}(s)||=||(\gamma \circ \varphi)'(s)||=||\gamma ' (\varphi(s))||\cdot |\varphi ' (s)|= ||\gamma ' (\varphi(s))||\cdot \varphi ' (s)=||\gamma ' (\varphi(s))|| \cdot \frac{1}{s'(\varphi(s))} = ||\gamma ' (\varphi(s))|| \cdot \frac{1}{||\gamma ' (\varphi(s))||}=1}\)

[Kartezjusz]

By uszanować inteligencję czytelnika , nie zanudzać oczywistymi fragmentami, a w trakcie kminienia luk, dochodzimy do lepszego zapamiętania twierdzenia i lepszego jego zrozumienia