Odwrotna transformacja Laplace'a
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 2 lut 2021, o 12:38
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 32
- Podziękował: 4 razy
Odwrotna transformacja Laplace'a
Dzień dobry,
muszę obliczyć odwrotną transformację Laplace'a. Wiem jak to zrobić dla trywialnych przypadków typu \(\displaystyle{ L^{-1} [ \frac{1}{s+a}] }\). Gubię się jednak w momencie kiedy w mianowniku pojawia się potęgowany wielomian, np. \(\displaystyle{ L^{-1} [ \frac{1}{(x^2-2x+5)^2}] }\). Czy dobrze rozumiem, że w takim przypadku rozwiązanie będzie następujące?
\(\displaystyle{
L^{-1} [ \frac{1}{(x^2+2x+5)^2}] = L^{-1} [\frac{1}{x^4 - 2x^2(2x+5) + (2x+5)^2}]
= L^{-1} [ \frac{1}{x^4 - 4x^3 + 10x^2 + 4x^2 + 20x + 25}]
}\)
wykorzystując liniowość transformaty:
\(\displaystyle{
= e^{-25t} + L^{-1}[\frac{1}{x^4}] - L^{-1}[\frac{1}{4x^3}] + L^{-1}[\frac{1}{14x^2}] + L^{-1}[\frac{1}{20x}]
}\)
Czy to poprawny tok myślenia?
muszę obliczyć odwrotną transformację Laplace'a. Wiem jak to zrobić dla trywialnych przypadków typu \(\displaystyle{ L^{-1} [ \frac{1}{s+a}] }\). Gubię się jednak w momencie kiedy w mianowniku pojawia się potęgowany wielomian, np. \(\displaystyle{ L^{-1} [ \frac{1}{(x^2-2x+5)^2}] }\). Czy dobrze rozumiem, że w takim przypadku rozwiązanie będzie następujące?
\(\displaystyle{
L^{-1} [ \frac{1}{(x^2+2x+5)^2}] = L^{-1} [\frac{1}{x^4 - 2x^2(2x+5) + (2x+5)^2}]
= L^{-1} [ \frac{1}{x^4 - 4x^3 + 10x^2 + 4x^2 + 20x + 25}]
}\)
wykorzystując liniowość transformaty:
\(\displaystyle{
= e^{-25t} + L^{-1}[\frac{1}{x^4}] - L^{-1}[\frac{1}{4x^3}] + L^{-1}[\frac{1}{14x^2}] + L^{-1}[\frac{1}{20x}]
}\)
Czy to poprawny tok myślenia?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Odwrotna transformacja Laplace'a
Transformata może i jest liniowa ale funkcja \(\displaystyle{ 1/x}\) nie jest. Wiec wzór \(\displaystyle{ \frac{1}{a+b}= \frac{1}{a}+ \frac{1}{b} }\) zwykle nie zachodzi więc odpowiedź jest błędna. Ja bym się najpierw zastanowił jak pokazać, że:
PS musisz się też zdecydować jaki jest znak przy \(\displaystyle{ 2x}\). Ale niewiele to zmienia ogólnie:
\(\displaystyle{ \mathscr{L}^{-1}\left( \frac{1}{s^2-2s+5} \right)=e^t \sin (t) \cos (t) }\)
wtedy \(\displaystyle{ \mathscr{L}^{-1}\left( \frac{1}{\left( s^2-2s+5\right)^2 } \right)=\left( e^t \sin (t) \cos (t)\right)*\left( e^t \sin (t) \cos (t)\right) }\)
PS musisz się też zdecydować jaki jest znak przy \(\displaystyle{ 2x}\). Ale niewiele to zmienia ogólnie:
\(\displaystyle{ \mathscr{L}^{-1}\left( \frac{1}{s^2+2s+5} \right)=e^{-t} \sin (t) \cos (t) }\)
oraz\(\displaystyle{ \mathscr{L}^{-1}\left( \frac{1}{\left( s^2+2s+5\right)^2 } \right)=\left( e^{-t} \sin (t) \cos (t)\right)*\left( e^{-t} \sin (t) \cos (t)\right) }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 2 lut 2021, o 12:38
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 32
- Podziękował: 4 razy
Re: Odwrotna transformacja Laplace'a
Trochę strzeliłem sobie w stopę zmyślając przykład. Podam inny, który jest chyba nieco prostszy.
Skoro można w ten sposób przemnożyć rozwiązanie przez siebie mając mianownik do drugiej potęgi, to zakładam, że poprawne będzie:
\(\displaystyle{
L^{-1}\left( \frac{b}{(s-a)^2 + b}\right) = e^{at} \sin bt \\
L^{-1}\left( \frac{b}{((s-a)^2 + b)^2}\right) = e^{2at} \sin^2 bt
}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ (s^2 - 4s + 5)^2 = ((s-2)^2 + 1)^2 \\
L^{-1}\left( \frac{1}{(s^2 - 4s + 5)^2}\right) = L^{-1} \left( \frac{1}{((s-2)^2 + 1)^2}\right) = e^{4t}\sin^2 t
}\)
Skoro można w ten sposób przemnożyć rozwiązanie przez siebie mając mianownik do drugiej potęgi, to zakładam, że poprawne będzie:
\(\displaystyle{
L^{-1}\left( \frac{b}{(s-a)^2 + b}\right) = e^{at} \sin bt \\
L^{-1}\left( \frac{b}{((s-a)^2 + b)^2}\right) = e^{2at} \sin^2 bt
}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ (s^2 - 4s + 5)^2 = ((s-2)^2 + 1)^2 \\
L^{-1}\left( \frac{1}{(s^2 - 4s + 5)^2}\right) = L^{-1} \left( \frac{1}{((s-2)^2 + 1)^2}\right) = e^{4t}\sin^2 t
}\)
Ostatnio zmieniony 2 lut 2021, o 21:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Skaluj nawiasy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Skaluj nawiasy.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Odwrotna transformacja Laplace'a
Jak na zmyślony przykład to było on naprawdę niezły... choć sam przykład jest dość zawansowany jak na początek nauki transformat.
To się nawet da policzyć. Jest to jakaś funkcja zmiennej \(\displaystyle{ t}\). Jej transformata da \(\displaystyle{ \frac{1}{\left( s^2+2s+5\right)^2 }}\) bo transformata \(\displaystyle{ e^t \sin (t) \cos (t)}\) daje \(\displaystyle{ \frac{1}{s^2+2s+5}}\) a my korzystamy tu ze wzoru Borela-Abela: \(\displaystyle{ \mathscr{L}\left( f*g\right) =\mathscr{L}\left( f\right) \mathscr{L}\left( g\right) }\). A jak nie chcesz tak to rozkładaj wszystko na zespolone ułamki proste. Wtedy praktycznie cały czas wystarczy korzystać z wzorów:
możesz też zobaczyć na metodę residuów. To było chyba coś takiego, że gdy \(\displaystyle{ \left( \mathscr{L}f\right)(s) }\) jest holomorficzna na \(\displaystyle{ \CC}\) z wyjątkiem skończenie wielu punktów osobliwych \(\displaystyle{ \Psi=\left\{ s_1,s_2,...,s_n\right\} }\) oraz \(\displaystyle{ \left( \mathscr{L}f\right)(s)\to 0 }\), gdy \(\displaystyle{ s\to \infty }\) to w punktach ciągłości \(\displaystyle{ f}\) mamy:
Absolutnie tak nie można. Nie można mnożyć poszczególnych wyników. Uznałem, że znasz pojęcie splotu funkcji \(\displaystyle{ *}\). To nie jest mnożenie tylko splatania czyli działanie zdefiniowane:Skoro można w ten sposób przemnożyć rozwiązanie przez siebie mając mianownik do drugiej potęgi, to zakładam, że poprawne będzie:...
\(\displaystyle{ (f*g)(t)=\int \limits _{0}^{t}f(t-\tau )g(\tau ) \dd \tau}\)
więc wynikiem Twoich przykładów jest: \(\displaystyle{ \left( e^t \sin (t) \cos (t)\right)*\left( e^t \sin (t) \cos (t)\right)=\int \limits _{0}^{t} \left( e^{t-\tau} \sin (t-\tau) \cos (t-\tau)\right)\left( e^{\tau} \sin (\tau) \cos (\tau)\right)\dd \tau}\)
To się nawet da policzyć. Jest to jakaś funkcja zmiennej \(\displaystyle{ t}\). Jej transformata da \(\displaystyle{ \frac{1}{\left( s^2+2s+5\right)^2 }}\) bo transformata \(\displaystyle{ e^t \sin (t) \cos (t)}\) daje \(\displaystyle{ \frac{1}{s^2+2s+5}}\) a my korzystamy tu ze wzoru Borela-Abela: \(\displaystyle{ \mathscr{L}\left( f*g\right) =\mathscr{L}\left( f\right) \mathscr{L}\left( g\right) }\). A jak nie chcesz tak to rozkładaj wszystko na zespolone ułamki proste. Wtedy praktycznie cały czas wystarczy korzystać z wzorów:
\(\displaystyle{ \mathscr{L}^{-1}\left( \frac{1}{s- \alpha } \right)=e^{ \alpha t}}\)
\(\displaystyle{ \mathscr{L}^{-1}\left( \frac{n!}{s^{n+1} } \right)=t^n}\)
możesz też zobaczyć na metodę residuów. To było chyba coś takiego, że gdy \(\displaystyle{ \left( \mathscr{L}f\right)(s) }\) jest holomorficzna na \(\displaystyle{ \CC}\) z wyjątkiem skończenie wielu punktów osobliwych \(\displaystyle{ \Psi=\left\{ s_1,s_2,...,s_n\right\} }\) oraz \(\displaystyle{ \left( \mathscr{L}f\right)(s)\to 0 }\), gdy \(\displaystyle{ s\to \infty }\) to w punktach ciągłości \(\displaystyle{ f}\) mamy:
\(\displaystyle{ f(t)= \sum_{k=1}^{n}\Res\left\{ \left( \mathscr{L}f\right)(s)e^{st}, s_k\right\} }\)
I to jest trzecia metoda liczenia oryginału.-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 2 lut 2021, o 12:38
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 32
- Podziękował: 4 razy
Re: Odwrotna transformacja Laplace'a
Niestety taka ma dola, z wykształcenia biolog bierze się za takie tematy.Janusz Tracz pisze: ↑2 lut 2021, o 17:34 Jak na zmyślony przykład to było on naprawdę niezły... choć sam przykład jest dość zawansowany jak na początek nauki transformat.
Tutaj właśnie wychodzą moje braki w innych tematach niż aktualnie rozpatrywany. Zagłębię się zatem w temat splotów funkcji. Wzory już nawet znam, intuicję rozumiem, ale nigdy tego nie liczyłem, więc będzie trzeba troszkę poćwiczyć.Absolutnie tak nie można. Nie można mnożyć poszczególnych wyników. Uznałem, że znasz pojęcie splotu funkcji \(\displaystyle{ *}\). To nie jest mnożenie tylko splatania czyli działanie zdefiniowane:
Pójdę raczej drogą zespolonych ułamków prostych. Przegrzebując się przez skrypt widzę, że zazwyczaj tak to jest liczone. Posiadanie skryptu niestety w moim przypadku nie oznacza możliwości jego pełnego wykorzystania, zapewne zważywszy na brak zaawansowanej matematyki na studiach, stąd też chęć zrewidowania czy dobrze rozumiem dane zagadnienie.
Za wskazówki i podpowiedzi serdecznie dziękuję!
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 2 lut 2021, o 12:38
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 32
- Podziękował: 4 razy
Re: Odwrotna transformacja Laplace'a
Dzień dobry,
finalnie chyba udało mi się uporać z oryginalnym przykładem. Mam nadzieję, że tym razem żadnych poważnych błędów nie popełniłem.
\(\displaystyle{
\begin{align*}
\mathscr{L}^{-1} \{G(s)\} &= \mathscr{L}^{-1} \{ \frac{1}{(s^2-4s+5)^2} \} \\
&= \mathscr{L}^{-1} \{ \frac{1}{((s-2)^2+1)^2} \} \\
&= \mathscr{L}^{-1} \{ \frac{1}{(s-2)^2+1} \cdot \frac{1}{(s-2)^2+1} \} \\
&= \mathscr{L}^{-1} \{ \frac{1}{(s-2)^2+1}\} * \mathscr{L}^{-1} \{ \frac{1}{(s-2)^2+1}\} \\
&= e^{2t}\sin(t) * e^{2t}\sin(t) \\
&= \int^t_0 (e^{2(t-\tau)} \sin(t-\tau))(e^{2\tau}\sin(\tau))d\tau \\
\end{align*}
}\)
Jeszcze raz serdecznie dziękuję za pomoc.
finalnie chyba udało mi się uporać z oryginalnym przykładem. Mam nadzieję, że tym razem żadnych poważnych błędów nie popełniłem.
\(\displaystyle{
\begin{align*}
\mathscr{L}^{-1} \{G(s)\} &= \mathscr{L}^{-1} \{ \frac{1}{(s^2-4s+5)^2} \} \\
&= \mathscr{L}^{-1} \{ \frac{1}{((s-2)^2+1)^2} \} \\
&= \mathscr{L}^{-1} \{ \frac{1}{(s-2)^2+1} \cdot \frac{1}{(s-2)^2+1} \} \\
&= \mathscr{L}^{-1} \{ \frac{1}{(s-2)^2+1}\} * \mathscr{L}^{-1} \{ \frac{1}{(s-2)^2+1}\} \\
&= e^{2t}\sin(t) * e^{2t}\sin(t) \\
&= \int^t_0 (e^{2(t-\tau)} \sin(t-\tau))(e^{2\tau}\sin(\tau))d\tau \\
\end{align*}
}\)
Jeszcze raz serdecznie dziękuję za pomoc.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Odwrotna transformacja Laplace'a
Wszystko ok. Można to liczyć dalej. Ta całka jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{2} e^{2 t} (\sin (t)-t \cos (t))}\). Ogólnie można pokazać, że:
\(\displaystyle{ \int e^{2(t-\tau)} \cdot \sin(t-\tau) \cdot e^{2\tau} \cdot \sin(\tau)\dd\tau=\frac{1}{4} e^{2 t} (-\sin (t-2 \tau )-2 \tau \cos (t))+C}\)
po wstawieniu granic całkowania powinno wyjść to co powyżej. Innymi słowy: \(\displaystyle{ \left(\mathscr{L}^{-1} G\right)(t)=\frac{1}{2} e^{2 t} (\sin (t)-t \cos (t)) }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 27 paź 2015, o 23:44
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 30 razy
Re: Odwrotna transformacja Laplace'a
Jak się interpretuje geometrycznie taki splot? Nie będzie rozbieżny?Janusz Tracz pisze: ↑2 lut 2021, o 13:37 ...
wtedy
\(\displaystyle{ \mathscr{L}^{-1}\left( \frac{1}{\left( s^2-2s+5\right)^2 } \right)=\left( e^t \sin (t) \cos (t)\right)*\left( e^t \sin (t) \cos (t)\right) }\)...
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Odwrotna transformacja Laplace'a
Zobacz tu:
Kod: Zaznacz cały
https://mathoverflow.net/questions/5892/what-is-convolution-intuitively
Ze splotem określonym na \(\displaystyle{ \RR}\) faktycznie trzeba byłoby bardziej uważać. Ale ja zdefiniowałem splot:
Funkcja podcałkowa u nas jest ciągła więc całkowalna (mówię o rozwiązanym przykładzie). Przedział domknięty i ograniczony więc całka jest skończona. Ta wersja splotu to splot jednostronny (a przynajmniej z taką nazwą się spotkałem) choć wszyscy i tak potem mówią na to po prostu splot.Janusz Tracz pisze: ↑2 lut 2021, o 17:34 Działanie zdefiniowane:
\(\displaystyle{ (f*g)(t)=\int \limits _{0}^{t}f(t-\tau )g(\tau ) \dd \tau}\)
Ostatnio zmieniony 19 mar 2021, o 10:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.