Odwrotna transformacja Laplace'a

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
mateuszko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 2 lut 2021, o 12:38
Płeć: Mężczyzna
wiek: 32
Podziękował: 4 razy

Odwrotna transformacja Laplace'a

Post autor: mateuszko »

Dzień dobry,

muszę obliczyć odwrotną transformację Laplace'a. Wiem jak to zrobić dla trywialnych przypadków typu \(\displaystyle{ L^{-1} [ \frac{1}{s+a}] }\). Gubię się jednak w momencie kiedy w mianowniku pojawia się potęgowany wielomian, np. \(\displaystyle{ L^{-1} [ \frac{1}{(x^2-2x+5)^2}] }\). Czy dobrze rozumiem, że w takim przypadku rozwiązanie będzie następujące?
\(\displaystyle{
L^{-1} [ \frac{1}{(x^2+2x+5)^2}] = L^{-1} [\frac{1}{x^4 - 2x^2(2x+5) + (2x+5)^2}]
= L^{-1} [ \frac{1}{x^4 - 4x^3 + 10x^2 + 4x^2 + 20x + 25}]
}\)


wykorzystując liniowość transformaty:
\(\displaystyle{
= e^{-25t} + L^{-1}[\frac{1}{x^4}] - L^{-1}[\frac{1}{4x^3}] + L^{-1}[\frac{1}{14x^2}] + L^{-1}[\frac{1}{20x}]
}\)


Czy to poprawny tok myślenia?
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Odwrotna transformacja Laplace'a

Post autor: Janusz Tracz »

Transformata może i jest liniowa ale funkcja \(\displaystyle{ 1/x}\) nie jest. Wiec wzór \(\displaystyle{ \frac{1}{a+b}= \frac{1}{a}+ \frac{1}{b} }\) zwykle nie zachodzi więc odpowiedź jest błędna. Ja bym się najpierw zastanowił jak pokazać, że:

\(\displaystyle{ \mathscr{L}^{-1}\left( \frac{1}{s^2-2s+5} \right)=e^t \sin (t) \cos (t) }\)
wtedy
\(\displaystyle{ \mathscr{L}^{-1}\left( \frac{1}{\left( s^2-2s+5\right)^2 } \right)=\left( e^t \sin (t) \cos (t)\right)*\left( e^t \sin (t) \cos (t)\right) }\)

PS musisz się też zdecydować jaki jest znak przy \(\displaystyle{ 2x}\). Ale niewiele to zmienia ogólnie:

\(\displaystyle{ \mathscr{L}^{-1}\left( \frac{1}{s^2+2s+5} \right)=e^{-t} \sin (t) \cos (t) }\)
oraz
\(\displaystyle{ \mathscr{L}^{-1}\left( \frac{1}{\left( s^2+2s+5\right)^2 } \right)=\left( e^{-t} \sin (t) \cos (t)\right)*\left( e^{-t} \sin (t) \cos (t)\right) }\)
mateuszko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 2 lut 2021, o 12:38
Płeć: Mężczyzna
wiek: 32
Podziękował: 4 razy

Re: Odwrotna transformacja Laplace'a

Post autor: mateuszko »

Trochę strzeliłem sobie w stopę zmyślając przykład. Podam inny, który jest chyba nieco prostszy.

Skoro można w ten sposób przemnożyć rozwiązanie przez siebie mając mianownik do drugiej potęgi, to zakładam, że poprawne będzie:

\(\displaystyle{
L^{-1}\left( \frac{b}{(s-a)^2 + b}\right) = e^{at} \sin bt \\
L^{-1}\left( \frac{b}{((s-a)^2 + b)^2}\right) = e^{2at} \sin^2 bt
}\)


Zatem:

\(\displaystyle{ (s^2 - 4s + 5)^2 = ((s-2)^2 + 1)^2 \\
L^{-1}\left( \frac{1}{(s^2 - 4s + 5)^2}\right) = L^{-1} \left( \frac{1}{((s-2)^2 + 1)^2}\right) = e^{4t}\sin^2 t
}\)
Ostatnio zmieniony 2 lut 2021, o 21:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Skaluj nawiasy.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Odwrotna transformacja Laplace'a

Post autor: Janusz Tracz »

Jak na zmyślony przykład to było on naprawdę niezły... choć sam przykład jest dość zawansowany jak na początek nauki transformat.
Skoro można w ten sposób przemnożyć rozwiązanie przez siebie mając mianownik do drugiej potęgi, to zakładam, że poprawne będzie:...
Absolutnie tak nie można. Nie można mnożyć poszczególnych wyników. Uznałem, że znasz pojęcie splotu funkcji \(\displaystyle{ *}\). To nie jest mnożenie tylko splatania czyli działanie zdefiniowane:
\(\displaystyle{ (f*g)(t)=\int \limits _{0}^{t}f(t-\tau )g(\tau ) \dd \tau}\)
więc wynikiem Twoich przykładów jest:
\(\displaystyle{ \left( e^t \sin (t) \cos (t)\right)*\left( e^t \sin (t) \cos (t)\right)=\int \limits _{0}^{t} \left( e^{t-\tau} \sin (t-\tau) \cos (t-\tau)\right)\left( e^{\tau} \sin (\tau) \cos (\tau)\right)\dd \tau}\)

To się nawet da policzyć. Jest to jakaś funkcja zmiennej \(\displaystyle{ t}\). Jej transformata da \(\displaystyle{ \frac{1}{\left( s^2+2s+5\right)^2 }}\) bo transformata \(\displaystyle{ e^t \sin (t) \cos (t)}\) daje \(\displaystyle{ \frac{1}{s^2+2s+5}}\) a my korzystamy tu ze wzoru Borela-Abela: \(\displaystyle{ \mathscr{L}\left( f*g\right) =\mathscr{L}\left( f\right) \mathscr{L}\left( g\right) }\). A jak nie chcesz tak to rozkładaj wszystko na zespolone ułamki proste. Wtedy praktycznie cały czas wystarczy korzystać z wzorów:

\(\displaystyle{ \mathscr{L}^{-1}\left( \frac{1}{s- \alpha } \right)=e^{ \alpha t}}\)

\(\displaystyle{ \mathscr{L}^{-1}\left( \frac{n!}{s^{n+1} } \right)=t^n}\)

możesz też zobaczyć na metodę residuów. To było chyba coś takiego, że gdy \(\displaystyle{ \left( \mathscr{L}f\right)(s) }\) jest holomorficzna na \(\displaystyle{ \CC}\) z wyjątkiem skończenie wielu punktów osobliwych \(\displaystyle{ \Psi=\left\{ s_1,s_2,...,s_n\right\} }\) oraz \(\displaystyle{ \left( \mathscr{L}f\right)(s)\to 0 }\), gdy \(\displaystyle{ s\to \infty }\) to w punktach ciągłości \(\displaystyle{ f}\) mamy:
\(\displaystyle{ f(t)= \sum_{k=1}^{n}\Res\left\{ \left( \mathscr{L}f\right)(s)e^{st}, s_k\right\} }\)
I to jest trzecia metoda liczenia oryginału.
mateuszko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 2 lut 2021, o 12:38
Płeć: Mężczyzna
wiek: 32
Podziękował: 4 razy

Re: Odwrotna transformacja Laplace'a

Post autor: mateuszko »

Janusz Tracz pisze: 2 lut 2021, o 17:34 Jak na zmyślony przykład to było on naprawdę niezły... choć sam przykład jest dość zawansowany jak na początek nauki transformat.
Niestety taka ma dola, z wykształcenia biolog bierze się za takie tematy. ;-)
Absolutnie tak nie można. Nie można mnożyć poszczególnych wyników. Uznałem, że znasz pojęcie splotu funkcji \(\displaystyle{ *}\). To nie jest mnożenie tylko splatania czyli działanie zdefiniowane:
Tutaj właśnie wychodzą moje braki w innych tematach niż aktualnie rozpatrywany. Zagłębię się zatem w temat splotów funkcji. Wzory już nawet znam, intuicję rozumiem, ale nigdy tego nie liczyłem, więc będzie trzeba troszkę poćwiczyć.

Pójdę raczej drogą zespolonych ułamków prostych. Przegrzebując się przez skrypt widzę, że zazwyczaj tak to jest liczone. Posiadanie skryptu niestety w moim przypadku nie oznacza możliwości jego pełnego wykorzystania, zapewne zważywszy na brak zaawansowanej matematyki na studiach, stąd też chęć zrewidowania czy dobrze rozumiem dane zagadnienie.

Za wskazówki i podpowiedzi serdecznie dziękuję! :)
mateuszko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 2 lut 2021, o 12:38
Płeć: Mężczyzna
wiek: 32
Podziękował: 4 razy

Re: Odwrotna transformacja Laplace'a

Post autor: mateuszko »

Dzień dobry,

finalnie chyba udało mi się uporać z oryginalnym przykładem. Mam nadzieję, że tym razem żadnych poważnych błędów nie popełniłem. :)

\(\displaystyle{
\begin{align*}
\mathscr{L}^{-1} \{G(s)\} &= \mathscr{L}^{-1} \{ \frac{1}{(s^2-4s+5)^2} \} \\
&= \mathscr{L}^{-1} \{ \frac{1}{((s-2)^2+1)^2} \} \\
&= \mathscr{L}^{-1} \{ \frac{1}{(s-2)^2+1} \cdot \frac{1}{(s-2)^2+1} \} \\
&= \mathscr{L}^{-1} \{ \frac{1}{(s-2)^2+1}\} * \mathscr{L}^{-1} \{ \frac{1}{(s-2)^2+1}\} \\
&= e^{2t}\sin(t) * e^{2t}\sin(t) \\
&= \int^t_0 (e^{2(t-\tau)} \sin(t-\tau))(e^{2\tau}\sin(\tau))d\tau \\
\end{align*}
}\)


Jeszcze raz serdecznie dziękuję za pomoc. :)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Odwrotna transformacja Laplace'a

Post autor: Janusz Tracz »

Wszystko ok. Można to liczyć dalej. Ta całka jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{2} e^{2 t} (\sin (t)-t \cos (t))}\). Ogólnie można pokazać, że:

\(\displaystyle{ \int e^{2(t-\tau)} \cdot \sin(t-\tau) \cdot e^{2\tau} \cdot \sin(\tau)\dd\tau=\frac{1}{4} e^{2 t} (-\sin (t-2 \tau )-2 \tau \cos (t))+C}\)
po wstawieniu granic całkowania powinno wyjść to co powyżej. Innymi słowy:

\(\displaystyle{ \left(\mathscr{L}^{-1} G\right)(t)=\frac{1}{2} e^{2 t} (\sin (t)-t \cos (t)) }\)
mateuszko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 2 lut 2021, o 12:38
Płeć: Mężczyzna
wiek: 32
Podziękował: 4 razy

Re: Odwrotna transformacja Laplace'a

Post autor: mateuszko »

Dziękuję pięknie. :)
pkrwczn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 27 paź 2015, o 23:44
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 30 razy

Re: Odwrotna transformacja Laplace'a

Post autor: pkrwczn »

Janusz Tracz pisze: 2 lut 2021, o 13:37 ...
wtedy
\(\displaystyle{ \mathscr{L}^{-1}\left( \frac{1}{\left( s^2-2s+5\right)^2 } \right)=\left( e^t \sin (t) \cos (t)\right)*\left( e^t \sin (t) \cos (t)\right) }\)
...
Jak się interpretuje geometrycznie taki splot? Nie będzie rozbieżny?
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Odwrotna transformacja Laplace'a

Post autor: Janusz Tracz »

pkrwczn pisze: 19 mar 2021, o 03:00 Jak się interpretuje geometrycznie taki splot?
Zobacz tu:

Kod: Zaznacz cały

https://mathoverflow.net/questions/5892/what-is-convolution-intuitively
może któraś odpowiedź Cię zainteresuje.
pkrwczn pisze: 19 mar 2021, o 03:00 Nie będzie rozbieżny?
Ze splotem określonym na \(\displaystyle{ \RR}\) faktycznie trzeba byłoby bardziej uważać. Ale ja zdefiniowałem splot:
Janusz Tracz pisze: 2 lut 2021, o 17:34 Działanie zdefiniowane:
\(\displaystyle{ (f*g)(t)=\int \limits _{0}^{t}f(t-\tau )g(\tau ) \dd \tau}\)
Funkcja podcałkowa u nas jest ciągła więc całkowalna (mówię o rozwiązanym przykładzie). Przedział domknięty i ograniczony więc całka jest skończona. Ta wersja splotu to splot jednostronny (a przynajmniej z taką nazwą się spotkałem) choć wszyscy i tak potem mówią na to po prostu splot.
Ostatnio zmieniony 19 mar 2021, o 10:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
ODPOWIEDZ