Wykazanie wartości pochodnej w punkcie

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
spinacz61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 30 lip 2020, o 20:58
Płeć: Mężczyzna
wiek: 24
Podziękował: 2 razy

Wykazanie wartości pochodnej w punkcie

Post autor: spinacz61 »

Cześć. Mam takie zadanie.

Funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) spełnia \(\displaystyle{ f(2-x) = f(x)}\) oraz jest różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ x = 1 }\). Wykazać, że \(\displaystyle{ f'(1) = 0 }\).

Próbowałem to zrobić nie wprost, gdy \(\displaystyle{ f'(1) > 0 }\), bo dla ujemnej wartości robi się podobnie. Sprzeczność, którą mielibyśmy dostać, wyglądałaby mniej więcej tak, że dla \(\displaystyle{ y_{1}}\), \(\displaystyle{ y_{2}}\) z otoczenia 1 i równo oddalonych od 1 zachodziłoby \(\displaystyle{ f(y_{1}) = f(y_{2})}\) (z założenia) oraz \(\displaystyle{ f(y_{1}) < f(y_{2})}\) z dodatniej wartości pochodnej w \(\displaystyle{ x = 1 }\).

Jednak nie wiadomo nic o ciągłości pochodnej, więc nie mogę wnioskować, że skoro \(\displaystyle{ f'(1) > 0}\), to istnieje otoczenie \(\displaystyle{ x = 1 }\) takie, że \(\displaystyle{ f'(x) > 0 }\).

W takim z czego można skorzystać?
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Wykazanie wartości pochodnej w punkcie

Post autor: Janusz Tracz »

Skoro \(\displaystyle{ f(2-x)=f(x)}\) to \(\displaystyle{ \left( f(2-x)\right)'=f'(2-x) \cdot \left( 2-x\right)'=-f'(2-x) }\). Ale z drugiej strony to jest po prostu \(\displaystyle{ f'(x)}\). Kładąc \(\displaystyle{ x=1}\) mamy \(\displaystyle{ -f(1)=f'(1)}\) czyli \(\displaystyle{ 2f(1)=0}\) czyli tezę.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Wykazanie wartości pochodnej w punkcie

Post autor: a4karo »

To nie jest dobre rozwiązanie, bo zakłada różniczkowalność funkcji. A ona jest różniczkowalna w jedynce. Nawet ciągła poza tym punktem nie musi być.

Zauważ, że ta funkcja jest "parzysta względem jedynki". O prostu zbadaj iloraz różnicowy w jedynce dla `h` i `-h`
Ostatnio zmieniony 26 sty 2021, o 15:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
spinacz61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 30 lip 2020, o 20:58
Płeć: Mężczyzna
wiek: 24
Podziękował: 2 razy

Re: Wykazanie wartości pochodnej w punkcie

Post autor: spinacz61 »

a4karo pisze: 26 sty 2021, o 14:38 Zauważ, że ta funkcja jest "parzysta względem jedynki". O prostu zbadaj iloraz różnicowy w jedynce dla `h` i `-h`
Ok, udało mi się. Dzięki.

Mam jeszcze jedno pytanie do tego mojego sposobu. Jeżeli założymy, że pochodna jest dodatnia w \(\displaystyle{ x = 1}\), to od pewnego miejsca dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\) bliskich 1 iloraz różnicowy będzie dodatni, czyli sieczne będą miały współczynnik kierunkowy dodatni. Czy można z tego wnioskować, że funkcja jest rosnąca w pewnym otoczeniu 1?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Wykazanie wartości pochodnej w punkcie

Post autor: a4karo »

Nie bo skoro jest symetryczna, to "rosnącość" pociąga "maleją ość" z lewej i vice versa
spinacz61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 30 lip 2020, o 20:58
Płeć: Mężczyzna
wiek: 24
Podziękował: 2 razy

Re: Wykazanie wartości pochodnej w punkcie

Post autor: spinacz61 »

a4karo pisze: 26 sty 2021, o 16:19 Nie bo skoro jest symetryczna, to "rosnącość" pociąga "maleją ość" z lewej i vice versa
No więc to by była poszukiwana sprzeczność
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Wykazanie wartości pochodnej w punkcie

Post autor: Dasio11 »

a4karo pisze: 26 sty 2021, o 14:38To nie jest dobre rozwiązanie, bo zakłada różniczkowalność funkcji. A ona jest różniczkowalna w jedynce. Nawet ciągła poza tym punktem nie musi być.
W zasadzie jest dobre, bo i tak korzystamy ze wzoru tylko dla \(\displaystyle{ x=1}\).
ODPOWIEDZ