Krzywizna normalna

[mat123]

Na powierzchni \(\displaystyle{ z=2x^{2}+9y^{2}}\) znaleźć krzywiznę normalną w punkcie \(\displaystyle{ P=(0,0,0)}\) w kierunku wektora \(\displaystyle{ \left( \frac{ \sqrt{2} }{2}, \frac{ \sqrt{2} }{2},0\right) }\).

[janusz47]

Znajdujemy parametryzację unormowaną \(\displaystyle{ p(s) }\) powierzchni \(\displaystyle{ z }\) zawierającą punkt \(\displaystyle{ P. }\)

Znajdujemy współrzędne wektor prędkości tej parametryzacji \(\displaystyle{ r'(s_{0}) }\) i wektora przyśpieszenia \(\displaystyle{ r^{''}(s_{0}). }\)

Znajdujemy współrzędne wektora unormowanego \(\displaystyle{ U. }\)

Znajdujemy krzywizną normalną \(\displaystyle{ \kappa_{n} }\) powierzchni w punkcie \(\displaystyle{ P }\) obliczając iloczyn skalarny

\(\displaystyle{ \kappa_{n} = \langle r''(s_{0}), \ \ U \rangle. }\)

Drugi sposób (twierdzenie Meusniera)

Znajdujemy parametryzację unormowaną \(\displaystyle{ p(s) }\) powierzchni \(\displaystyle{ z }\) zawierającą punkt \(\displaystyle{ P. }\)

Znajdujemy krzywiznę powierzchni w punkcie \(\displaystyle{ s, \ \ \kappa }\)

Znajdujemy kosinus kąta między danym wektorem \(\displaystyle{ w }\) a wersorem normalnym \(\displaystyle{ N_{P} }\)

Obliczamy krzywiznę normalną

\(\displaystyle{ \kappa_{n} = \kappa\cdot \cos(\alpha).}\)

[mat123]

Mamy \(\displaystyle{ r(u,v)=(u, v, 2u^{2}+9v^{2})}\), w jaki sposób wykonać parametryzację unormowaną? Na zajęciach wyliczałam jedynie parametryzację łukową (unormowaną) dla krzywych, a tam zależało to od jednego parametru.

[janusz47]

Wprowadzamy współrzędne eliptyczne \(\displaystyle{ \mathcal{E}(t) = [ u = a\cos(t), \ \ v = b\sin(t), \ \ t\in [0, \ \ 2\pi) ]. }\)