Pochodna funkcji z niewiadomą do potęgi z niewiadomą

[bartekw2213]

Witam, mam problem z obliczeniem pochodnej poniższej funkcji
\(\displaystyle{ \left( \frac{x+1}{x}\right)^x}\)

Zrobiłem to w podany poniżej sposób, ale nie wiem czy jest to poprawne rozwiązanie
\(\displaystyle{ f(x) = \left( \frac{x+1}{x}\right)^x = e^{x\ln(\frac{x+1}{x})}}\)
\(\displaystyle{ f'(x) = e^{x\ln\left( \frac{x+1}{x}\right)} \cdot A}\)
\(\displaystyle{ A = \left( x\ln\left( \frac{x+1}{x}\right) \right)' = \ln\frac{x+1}{x} + x \cdot \frac{-1}{(x+1)x}}\)
Wstawiam \(\displaystyle{ A}\) do równania i otrzymuję
\(\displaystyle{ f'(x) = \left( \frac{x+1}{x}\right)^x\left( \ln\left( \frac{x+1}{x} \right) - \frac{1}{x+1}\right)}\)

Czy gdzieś popełniłem błąd?

[Premislav]

Nie popełniłeś, jest dobrze. Takie rzeczy polecam sprawdzać

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/

.

[janusz47]

Obliczenie pochodnej za pomocą pochodnej logarytmicznej

\(\displaystyle{ f(x) = \left(\frac{x+1}{x}\right)^{x} = \left(1 + \frac{1}{x} \right)^{x} }\)

Logarytmujemy obie strony równania logarytmem naturalnym

\(\displaystyle{ \ln \left( f(x)\right) = x\cdot \ln\left( 1 + \frac{1}{x}\right)}\)

Różniczkujemy obustronnie

\(\displaystyle{ \frac{f'(x)}{f(x)} = \ln \left( 1 + \frac{1}{x}\right) + x \cdot \frac{ \frac{-1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x}} }\)

\(\displaystyle{ f'(x) = f(x)\cdot \left[ \ln\left( 1 + \frac{1}{x}\right) - \frac{1}{x \left(1 +\frac{1}{x}\right)}\right] }\)

\(\displaystyle{ f'(x) = \left(\frac{x+1}{x} \right)^{x} \cdot \left[ \ln\left( \frac{x+ 1}{x} \right) - \frac{1}{x +1} \right]. }\)