Pochodna z definicji

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Maradona126
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 7 gru 2020, o 14:34
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 29 razy

Pochodna z definicji

Post autor: Maradona126 »

Nie wiem jak obliczyć, pochodną z definicji w funkcji: \(\displaystyle{ f(x)=\ln x}\)
Normalnie podstawiam mam takie coś \(\displaystyle{ \lim_{ \Delta(x)\to 0} \frac{\ln(x _{0}+\Delta(x))-\ln x _{0} }{\Delta(x)} }\) no i nie wiem jakie kolejne kroki tu podejmować.
Ostatnio zmieniony 6 sty 2021, o 16:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Pochodna z definicji

Post autor: Janusz Tracz »

Może uproszczę zapis. Zacznij od:

\(\displaystyle{ \lim_{ h\to 0} \frac{\ln (x+h)-\ln x}{h}= \lim_{ h\to 0} \ln \left( \frac{x+h}{x} \right)^{ \frac{1}{h} } = \ln \left( \lim_{ h \to 0 }\left( 1+ \frac{h}{x} \right)^{ \frac{1}{h} } \right)=... }\)
Maradona126
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 7 gru 2020, o 14:34
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 29 razy

Re: Pochodna z definicji

Post autor: Maradona126 »

Janusz Tracz pisze: 6 sty 2021, o 15:15 Może uproszczę zapis. Zacznij od:

\(\displaystyle{ \lim_{ h\to 0} \frac{\ln (x+h)-\ln x}{h}= \lim_{ h\to 0} \ln \left( \frac{x+h}{x} \right)^{ \frac{1}{h} } = \ln \left( \lim_{ h \to 0 }\left( 1+ \frac{h}{x} \right)^{ \frac{1}{h} } \right)=... }\)
Nie rozumiem dlaczego tam \(\displaystyle{ \frac{1}{h} }\) jest potem potęgą, z jakiego to wzoru?
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Pochodna z definicji

Post autor: Janusz Tracz »

\(\displaystyle{ \log_ab^c=c\log_ab}\)
Maradona126
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 7 gru 2020, o 14:34
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 29 razy

Re: Pochodna z definicji

Post autor: Maradona126 »

A dobra, dobra teraz rozumiem. Dziękuję!:)
ODPOWIEDZ