Pochodna funkcji jednej zmiennej będąca złożeniem funkcji wielu zmiennych

[smakowy200]

Dzień Dobry,

Mam pytanie jak rozwiązuje się pochodne tego typu:

Niech u,v to wektory z przestrzeni liniowej skończenie wymiarowej, a
\(\displaystyle{ \phi(t) = F(tu+(1-t)v)}\)
\(\displaystyle{ F}\) jest funkcją z \(\displaystyle{ V}\) w liczby rzeczywiste

Jak obliczyć \(\displaystyle{ \phi^{\prime}(t)}\)? Nie wiem jak się od tego zabrać mając złożenie funkcji gdzie ze skalara dostajemy wektor, i potem z wektora skalar

[Dasio11]

Nie ma ogólnej metody - wszystko zależy od tego, co wiadomo o funkcji \(\displaystyle{ F}\).

[a4karo]

Masz tutaj złożenie dwóch odwzorowań: `h:\RR\to\RR^n` dane wzorem `h(t)=tu+(1-t)v` oraz odwzorowania `F:\RR^n\to \RR`. Pochodną pierwszego odwzorowania jest odwrorowanie liniowe opisena wektor,em który łatwo obliczysz, zaś pochodną drugiego odwzorowania jest odwzorowanie dane wzorem
\(\displaystyle{ \left[\frac{\partial F}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial F}{\partial x_1}\right]}\).

Pochodna złożenia `F\circ h` to złożenie tych dwóch odwzorowań liniowych - w tym wypadku ich iloczyn skalarny obliczony w odpowiednich punktach

[Dasio11]

Nie uważasz, że podając rozwiązanie działające tylko w szczególnych sytuacjach warto uprzedzić o tym fakcie pytającego, żeby uniknąć wprowadzenia go w błąd? Potrzebne założenia to \(\displaystyle{ V = \RR^n}\) i różniczkowalność funkcji \(\displaystyle{ F}\).

[a4karo]

Nie, nie uważam. Przyjąłem najprostsze (i dość naturalne) założenie.
Za to Twój post sugeruje ze w zależności od funkcji stosuje się różne metody.

[Dasio11]

Nie, nie uważam.

Aż trudno mi w to wierzyć, więc upewnię się czy dobrze zrozumiałem: naprawdę Ci nie przeszkadza, że ktoś po lekturze Twojego posta pozostanie z mylnym przekonaniem, jakoby pochodną kierunkową zawsze obliczało się opisaną metodą? I będzie stosował ją do funkcji nieróżniczkowalnych dostając złe wyniki?

[a4karo]

Nie, nie przeszkadza mi. Wierzę, że gdy uczestnik forum pyta o coś takiego, to ma problem czysto techniczny, bo nigdy tego nie robił, a nie, że spyta za chwilę czym jest `\partial`
Gdy ktoś na forum spyta jak różniczkować funkcję postaci `f^{g^h}`, to nie będę dywagować na temat założeń jakie te funkcje powinny spełniać, tylko wskażę metodę.