Wyznaczanie pochodnych funkcji złożonych

[weles]

\(\displaystyle{ y=x\arccos \frac{x}{2} - \sqrt{4-x ^{2} } }\)
\(\displaystyle{ y=\ln\ctg \frac{x}{2} + \frac{x}{\sin x} }\)
\(\displaystyle{ y= \sqrt{x ^{2} -le} ^{\arcsin \frac{1}{x} } }\)
\(\displaystyle{ y= \sqrt{x+1} -\ln(1+ \sqrt{x+1} }\)
\(\displaystyle{ y= e ^{ \sqrt{x} } \arctg(x ^{2} +1)+2\ln \frac{x+1}{x-1} }\)
\(\displaystyle{ y=\log _{3} \sqrt{2x ^{2}-5x + 1 } }\)
\(\displaystyle{ y= 3 ^{1-2x ^{2} } }\)
\(\displaystyle{ y=1996(\sin x+ \sqrt{x+1} ) ^{1995} }\)

To tylko część przykładów jakie dostaliśmy do rozwiązania na roku, nie zależy mi na wszystkich przykładach, chciałbym, żeby ktoś mógł mi wytłumaczyć jak najlepiej jak wyznaczać takie pochodne funkcji złożonych, z pochodnymi funkcji elementarnych sobie poradziłem, z tymi już gorzej, byłem na matemaksie, oglądałem co nieco na youtubie, ale dużo mi to nie dało, za każdą próbę pomocy dziękuję:D

[Janusz Tracz]

Obliczanie pochodnych polega w tym przypadku na naprzemiennym stosowaniu liniowości pochodnej, zaglądaniu do tablic z pochodnymi podstawowych funkcji oraz (co w tym zadaniu kluczowe) korzystaniu ze wzoru \(\displaystyle{ \left( f\circ g\right)'(x)=\left( f' \circ g\right) (x) \cdot g'(x) }\). Twoim zadaniem jest tak dobrać \(\displaystyle{ f,g,...}\) aby było dobrze. Zacznij od przedostatniego przykładu. Pokaż co uznajesz jako \(\displaystyle{ f,g}\). Co to jest \(\displaystyle{ f\circ g}\) a co to jest \(\displaystyle{ f'}\) oraz \(\displaystyle{ g,g'}\).

[Tmkk]

Cały problem tak naprawdę rozchodzi się o umiejętność rozkładania funkcji na prostsze kawałki. Potem to już jest po prostu podstawianie do wzoru.

Weźmy na przykład kawałek drugiego podpunktu: \(\displaystyle{ F(x) = \ln{\ctg{(x/2)}}}\). Musisz się nauczyć, jak zapisać tę funkcję, jako założenie funkcji elementarnych, których pochodne umiesz już liczyć. Najbardziej na zewnątrz widzimy logarytm, więc oznaczmy sobie \(\displaystyle{ f(x) = \ln{x}}\). Potem w logarytmie siedzi kotangens, więc niech \(\displaystyle{ g(x) = \ctg{x}}\). W środku kotangensa siedzi funkcja \(\displaystyle{ h(x) = \frac{x}{2}}\). Kolejność jest tu bardzo istotna.

Wobec tego \(\displaystyle{ F(x) = f(g(h(x)))}\). Sprawdzamy (polecam robić to na początku, jeśli nie masz wprawy):

\(\displaystyle{ f(g(h(x))) = f(g(x/2)) = f(\ctg{(x/2)}) = \ln{\ctg{(x/2)}}}\), zgadza się.

Teraz pozostało już tylko podstawić do wzoru (wzorek dla trzech i więcej funkcji, jest analogiczny do tego dla dwóch funkcji). Pochodne tych funkcji z rozkładu znamy: \(\displaystyle{ f'(x) = \frac{1}{x}, g'(x) = \frac{-1}{\sin^2(x)}, h'(x) = \frac{1}{2}}\), czyli

\(\displaystyle{ F'(x) = f'(g(h(x))\cdot g'(h(x)) \cdot h'(x) = \frac{1}{\ctg{(x/2)}} \cdot \frac{-1}{\sin^2(x/2)} \cdot \frac{1}{2}}\).

Oczywiście tu dochodzą jeszcze wzory na pochodną iloczynu, liniowość pochodnej, itp, ale mam wrażenie, że głównie złożenia sprawiają problem.

[weles]

\(\displaystyle{ y=3 ^{1-2x ^{2} } }\)
\(\displaystyle{ y'=(3 ^{1-2x ^{2} })' \cdot (1-2x ^{2} )'}\)
\(\displaystyle{ y'=3 ^{1-2x ^{2} }\ln3\cdot(-4x)}\)
?

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ y=3 ^{1-2x ^{2} } }\)
\(\displaystyle{ y'=\red{(3 ^{1-2x ^{2} })'} \cdot (1-2x ^{2} )'}\)
\(\displaystyle{ y'=3 ^{1-2x ^{2} }\ln3 \cdot (-4x)}\)

Prawie. To co na czerwono jest źle bo to jest to czego szukasz choć ostatecznie udało Ci się zrobić dobrze. Prosiłem abyś podał \(\displaystyle{ f,g}\). Zastanów się nad takimi funkcjami:

\(\displaystyle{ f\left( \clubsuit \right) = 3^{\clubsuit }}\)

\(\displaystyle{ g\left( \spadesuit \right)=1-2\spadesuit ^2 }\)

czym jest \(\displaystyle{ \left( f\circ g\right) \left( \Diamond \right) }\)? Czym jest \(\displaystyle{ f'}\) oraz \(\displaystyle{ g'}\) (odczytaj to z tabelki z pochodnymi)? Czym jest \(\displaystyle{ \left( f'\circ g\right)\left( \Diamond \right) }\)? Można o tym myśleć, o funkcji bardziej abstrakcyjnie. Nie jak o wartości \(\displaystyle{ f(x)}\) tyko jak o pewnym przepisie \(\displaystyle{ f}\) który bierze \(\displaystyle{ \text{coś}}\) i daje \(\displaystyle{ f\left( \text{coś}\right) }\).