Krzywa w kwadracie

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że krzywa \(\displaystyle{ (x^2+y^2)^3 = 27x^2y^2}\) jest zawarta w kwadracie o boku \(\displaystyle{ 4}\)

Ukryta treść:    

Komal problem 3310

[a4karo]

We współrzędnych biegunowych mamy

`r^4=\frac{27}{4}\sin^2 2\varphi`

Stąd \(\displaystyle{ r_{max}=\sqrt[4]\frac{27}{4}< 1.62}\). Krzywa leży zatem w kwadracie o wierzchołkach `(-2, 2)^2`

[Janusz Tracz]

Krzywa leży zatem w kwadracie o wierzchołkach `(-2, 2)^2`

Punkt \(\displaystyle{ \left( \sqrt{2},2 \right) }\) należy do tej krzywej i do brzegu kwadratu.

[Jan Kraszewski]

We współrzędnych biegunowych mamy

`r^4=\frac{27}{4}\sin^2 2\varphi`

Chyba jednak

`r^2=\frac{27}{4}\sin^2 2\varphi`.

JK

[Janusz Tracz]

Poza tym szczerze mówiąc nie widzę dlaczego z ograniczenia \(\displaystyle{ r_{\text{max}}}\) miało by wynikać, że krzywa jest w kwadracie. Raczej krzywa jest w okręgu zawarta ale można tak sobie wyobrazić krzywa zawartą w okręgu ale jednak wychodzącą z kwadratu.

[a4karo]

@JK> Oj prawda, niestety.
@Janusz Tracz: jak pokażesz, że `r_{max}<2`, to stąd będzie wnikać, że krzywa jest w kole o promieniu `2`, a to koło da się wpisać w kwadrat o boku `4`. No ale tego nie pokazałem

Już sie poprawiam. Ze względu na symetrię wystarczy przyjrzeć się tylko pierwszej ćwiartce

`r=3\sqrt{3}sin \varphi\cos\varphi`, stąd `x=\r\cos\varphi=3\sqrt{3}\sin\varphi(1-\sin^2\varphi)\leq 2`, bo wielomian `t(1-t^2)` przyjmuje w przedziale `(0,1)` największą wartość `\frac{2}{3\sqrt{3}`.
Dokładnie tak samo pokazujemy ograniczenie dla `y=r\sin\varphi`