Pochodna we współrzędnych biegunowych

[Rokush]

Mam takie pytanie, mam policzyć ekstrema funkcji wielu zmiennych, więc powinienem znaleźć pochodne cząstkowe, przyrównać do 0, znaleźć punkty krytyczne itd... ale jak liczę te pochodne cząstkowe, to wychodzą jakieś malaryczne wielomiany, których rozkład jest strasznie toporny, ale jak zamienię \(\displaystyle{ x }\) i \(\displaystyle{ y }\) na współrzędne biegunowe, to funkcja bardzo ładnie się redukuje, bo mamy tam pełno \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2} }\) i czy jak zamienię je zgodnie ze wzorkiem \(\displaystyle{ (x,y)=(r\cos( \alpha ),r\sin( \alpha )) }\) to czy mogę wtedy liczyć z tego pochodne cząstkowe po \(\displaystyle{ r }\) praz \(\displaystyle{ \alpha }\), przyrównać je do 0, i w taki sposób znaleźć ekstrema i dopiero jak już je znajdę wrócić z powrotem na \(\displaystyle{ (x,y) }\)? Czy na biegunowych jakoś inaczej działają te pochodne?

[janusz47]

Sposób postępowania jest taki sam jak we współrzędnych kartezjańskich.

Musimy obliczyć pochodne \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} =... , \ \ \frac{d^2 y}{dx^2}=... }\) we współrzędnych biegunowych.