Użycie wzoru Taylora

[bartekw2213]

Witam, mam problem z zadaniem, w którym mam oszacować dokładność wzoru przybliżonego na podanym przedziale.
\(\displaystyle{ \sin x \approx x - \frac{x^3}{6} }\) dla \(\displaystyle{ |x| < \frac{\pi}{6} }\)

1) To co zrobiłem to rozwinąłem wzór Taylora do \(\displaystyle{ R_4(x)}\)
\(\displaystyle{ f(x) = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \frac{f'''(x_0)}{3!}(x - x_0)^3 + R_4(x)}\)

2) Jako \(\displaystyle{ x_0}\) wziąłem \(\displaystyle{ 0}\) i otrzymałem:
\(\displaystyle{ f(x) = 0 + \frac{\cos 0}{1}x + \frac{-\sin 0}{2}x^2 + \frac{-\cos 0}{6}x^3 + R_4(x) = x - \frac{x^3}{6} + R_4(x)}\)
Czyli zgadza mi się ta postać z wzorem podanym na początku zadania.

3) Obliczam największe możliwe \(\displaystyle{ R_4(x)}\)
\(\displaystyle{ R_4(x) = \frac{f^4(x_0) }{4!}x^4 = \frac{-\cos\frac{\pi}{6}}{24} \cdot \left( \frac{\pi}{6}\right)^4 }\)

Wynik jaki powinienem otrzymać to:
\(\displaystyle{ \left( \frac{\pi}{6}\right) ^5 \cdot \frac{1}{5!} }\)

Nie zgadzają się ilość wyrazów do których rozwinąłem wielomian Taylora - czemu? Gdzie popełniłem błąd?

[szw1710]

Wielomian, którym przybliżamy, jest tak naprawdę wielomianem Maclaurina (tzn. Taylora w zerze) rzędu \(4\). Musisz zapisać resztę z piątą pochodną, czyli \(R_5(x).\) Pisanie wzoru Maclaurina przedłuż więc o jeden. Tak zawsze jest przy sinusie i cosinusie i będzie we wszystkich szeregach zawierających tylko wyrazy o numerach parzystych czy nieparzystych. Również podobna sprawa wystąpi w szeregach typu \(a_1+a_3x^3+a_6x^6+\dots\) itp.

[bartekw2213]

Wielomian, którym przybliżamy, jest tak naprawdę wielomianem Maclaurina (tzn. Taylora w zerze) rzędu \(4\). Musisz zapisać resztę z piątą pochodną, czyli \(R_5(x).\) Pisanie wzoru Maclaurina przedłuż więc o jeden. Tak zawsze jest przy sinusie i cosinusie i będzie we wszystkich szeregach zawierających tylko wyrazy o numerach parzystych czy nieparzystych. Również podobna sprawa wystąpi w szeregach typu \(a_1+a_3x^3+a_6x^6+\dots\) itp.

Ciągle nie rozumiem czemu mam przedłużyć wzór o jeden wyraz - czy mógłbyś to wytłumaczyć w prostszy/dłuższy sposób?

[Tmkk]

To co zrobiłeś jest dobrze (poza tym, że czwarta pochodna to sinus a nie -cosinus), ale można lepiej.

Gdybyś napisał wielomian Taylora dla jednego wyrazu więcej, zobaczyłbyś, że \(\displaystyle{ f^{(4)}(0) = 0}\). Wobec tego, przybliżenie \(\displaystyle{ \sin{x} \sim x - \frac{x^3}{6}}\) bierze się z rozpisania wielomianu Taylora wokół zera dla pierwszych trzech (tak jak zrobiłeś) lub pierwszych czterech (bo czwarta pochodna to \(\displaystyle{ 0}\)) wyrazów. Dlatego robiąc to, o czym pisze szw1710, dostaniesz to samo przybliżenie sinusa, ale reszta będzie dokładniej oszacowana.

[szw1710]

Ciągle nie rozumiem czemu mam przedłużyć wzór o jeden wyraz - czy mógłbyś to wytłumaczyć w prostszy/dłuższy sposób?

Widziałem, że zadanie zrobiłeś w miarę poprawnie, więc stwierdziłem, że mogę wyrażać się bardziej profesjonalnie opowiadając o swoim doświadczeniu (ileż to razy robię ze studentami zadanie tego typu) licząc na to, że jednak będziesz w stanie podążyć za wskazówką, którą dałem. Według mnie, była ona czytelna. Często taka podpowiedź naprowadza na właściwy tor i jest znacznie więcej radości ze skorzystania z niej niż z gotowca. Dlatego napisałem tak, a nie inaczej dodając jeszcze pewną uwagę natury ogólnej.

[bartekw2213]

To co zrobiłeś jest dobrze (poza tym, że czwarta pochodna to sinus a nie -cosinus), ale można lepiej.

Gdybyś napisał wielomian Taylora dla jednego wyrazu więcej, zobaczyłbyś, że \(\displaystyle{ f^{(4)}(0) = 0}\). Wobec tego, przybliżenie \(\displaystyle{ \sin{x} \sim x - \frac{x^3}{6}}\) bierze się z rozpisania wielomianu Taylora wokół zera dla pierwszych trzech (tak jak zrobiłeś) lub pierwszych czterech (bo czwarta pochodna to \(\displaystyle{ 0}\)) wyrazów. Dlatego robiąc to, o czym pisze szw1710, dostaniesz to samo przybliżenie sinusa, ale reszta będzie dokładniej oszacowana.

Tak, źle przepisałem czwartą pochodną. Dzięki bardzo za twoją odpowiedź, zrozumiałem o co chodzi