wypukłośc i wklęsłość funkcji

[CaffeeLatte]

Cześć, mam pytanie co do tego przykładu w którym muszę wyznaczyć przedziały wypukłości i wklęsłości:
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{(\ln x)^3} }\)
policzyłem drugą pochodną:
\(\displaystyle{ f''(x) = \frac{12 + 3\ln x}{(\ln x)^5 \cdot x^2} }\)
sprawdzam kiedy jest mniejsza od \(\displaystyle{ 0}\):
\(\displaystyle{ \frac{12 + 3\ln x}{(\ln x)^5 \cdot x^2} < 0}\)
\(\displaystyle{ (\ln x)^5 \cdot (12 + 3\ln x) < 0}\)
\(\displaystyle{ x = 1 \vee x = e^{-4}}\)
i wychodzi mi, że jest wypukła od dołu w przedziale \(\displaystyle{ (0, e^{-4} ) \cup (1, + \infty )}\)
i wypukła od góry: \(\displaystyle{ (e^{-4}, 1)}\)
czy dobrze rozwiązałem to zadanie?
W sumie jedynka nie należy do dziedziny to chyba nie powinienem jej uwzględniać w końcowym wyniku i ją pominąć na wykresie?

[Premislav]

Obliczona przez Ciebie druga pochodna i wyznaczone przedziały są poprawne, natomiast aż się bałem odpowiadać w tym wątku, ponieważ znam pojęcie „wypukła w górę" (popularniej: „wklęsła"), ale moje zboczenie językowe zaczęło mi sugerować, że „wypukła od góry" powinno być przeciwieństwem „wypukła w górę" i się zmieszałem. W każdym razie jeśli wbrew mej (pewnie wadliwej) intuicji językowej przyjmiemy, że „w dół/w górę"\(\displaystyle{ \equiv}\)„od dołu/od góry", to wszystko gra.
Jedynka nie należy do dziedziny funkcji, ale używasz przedziałów otwartych, więc wszystko się zgadza (chyba że nie zrozumiałem tego pytania).

[Jan Kraszewski]

Jedynka nie należy do dziedziny funkcji, ale używasz przedziałów otwartych, więc wszystko się zgadza (chyba że nie zrozumiałem tego pytania).

No nie bardzo, nie sądzę, by ta funkcja była

wypukła od dołu w przedziale \(\displaystyle{ (0, e^{-4} ) \cup (1, + \infty )}\)

bo to nie jest przedział, tylko suma przedziałów, a to w tym wypadku istotna różnica.

JK

[Premislav]

O cholera! Znowu się na to nabieram (widocznie kretyn ze mnie), dziękuję za to spostrzeżenie i przepraszam.

No niewątpliwie funkcja nie jest wypukła w zbiorze będącym sumą tych przedziałów, tylko wypukła w pierwszym przedziale i wypukła w drugim.

[CaffeeLatte]

Czyli zamiast znaku sumy powinien być przecinek, żeby zapis był poprawny?

[Jan Kraszewski]

Powinno być napisane, że funkcja jest wypukła na przedziale... oraz na przedziale...

JK

[CaffeeLatte]

jeszcze na wszelki wypadek zapytam: \(\displaystyle{ \frac{1}{e^4} }\) to jest punkt przegięcia? Bo jak sobie zobaczyłem ten wykres w geogebrze to tak średnio mi wygląda na to że tam może być ten punkt.

[korki_fizyka]

Powinno być napisane, że funkcja jest wypukła na przedziale... oraz na przedziale...

JK

Po polsku to będzie "wypukła W przedziale",

pozdrawiam.

[Jan Kraszewski]

Po polsku to będzie "wypukła W przedziale",

Słusznie.

JK

[CaffeeLatte]

Ale z tym punktem przegięcia to dobrze mówię ?

[Jan Kraszewski]

Dobrze.

JK