O jednym zadaniu z egzaminu Analiza I

[janusz47]

Zadanie

Wiedząc, że funkcja

\(\displaystyle{ f(x) = \sin^2(x) + (a^2 -2a)x }\) jest określona w zbiorze \(\displaystyle{ \RR }\) i jest w tym zbiorze malejąca, proszę wyznaczyć \(\displaystyle{ a.}\)

Rozwiązanie

Skorzystamy z twierdzenia

Funkcja \(\displaystyle{ \mathcal{F}(x)}\) jest malejąca i różniczkowalna w \(\displaystyle{ (a, b) \rightarrow \mathcal{F'}(x) \leq 0 }\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in (a, b). }\)

Z założenia funkcja \(\displaystyle{ f(x) }\) jest malejąca w zbiorze \(\displaystyle{ \RR }\) to jest w przedziale otwartym \(\displaystyle{ (-\infty, \infty ) }\) i jak łatwo dostrzec jest w tym przedziale różniczkowalna.

Stąd na podstawie powyższego twierdzenia mamy \(\displaystyle{ f'(x) \leq 0 }\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in \RR. }\)

\(\displaystyle{ \sin(2x) + a^2 -2a \leq 0 }\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in \RR. }\)

I sposób

Skoro ta nierówność zachodzi dla każdego \(\displaystyle{ x\in \RR }\), więc w szczególności zachodzi dla \(\displaystyle{ x = 0. }\)

Mamy więc

\(\displaystyle{ a^2 - 2a \leq 0 }\)


\(\displaystyle{ a(a -2) \leq 0 }\)

\(\displaystyle{ 0 \leq a \leq 2.}\)

II sposób

Skoro nierówność \(\displaystyle{ \sin(2x) +a^2 -2a \leq 0 }\) zachodzi dla każdego \(\displaystyle{ x\in \RR, }\) więc w szczególności zachodzi dla \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{4}. }\)

Mamy więc

\(\displaystyle{ 1 + a^2 - 2a \leq 0, }\)

\(\displaystyle{ (a -1)^2 \leq 0,}\)

\(\displaystyle{ (a -1)^2 = 0,}\)

\(\displaystyle{ a = 1.}\)

Odpowiedzi uzyskane w sposobach I , II są różne. Gdzie tkwi błąd ?

[Premislav]

Uzyskano pewien warunek konieczny, który niekoniecznie jest warunkiem dostatecznym (i to w obydwu przypadkach). Akurat postępowanie z II sposobu nieco przypadkowo prowadzi do słusznego wyniku, ale to jeszcze trzeba wykonać sprawdzenie. A najlepiej byłoby, po obliczeniu pochodnej funkcji z zadania, zmaksymalizować funkcję \(\displaystyle{ \RR\ni x\rightarrow \sin(2x)}\) (co umieją ludzie w szkole średniej) i wtedy wiadomo, że warunki zadania są spełnione, gdy \(\displaystyle{ 2a-a^{2}}\) przyjmuje co najmniej taką wartość, jak to znalezione maksimum.

[janusz47]

Trzeba uwzględnić założenia odnośnie wartości funkcji \(\displaystyle{ \sin(2x), }\) co nie uwzględniono w tym rozwiązaniu.