Warunek Lipschitza lokalny a globalny

[Iza8723]

Mam problem z rozpoznaniem, kiedy funkcja spełnia warunek Lipschitza globalnie, a kiedy lokalnie.
Wiem jakie są definicje , ale kiedy zacząć podejrzewać , że będzie lokalnie
Przykładowo:
\(\displaystyle{ f(x)=x}\) jest globalnie Lipschitzowska ograniczam przez \(\displaystyle{ L=1}\).
Ale dlaczego
\(\displaystyle{ f(x)=x ^{2} }\) jest lokalnie Lipschitzowska . Skąd mam wiedzieć, że nie jestem jej w stanie ograniczyć przez \(\displaystyle{ L\left| x-y\right| }\)

[Dasio11]

Jeśli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest różniczkowalna na przedziale otwartym, to jest na nim lipschitzowska wtedy i tylko wtedy, gdy jej pochodna jest na tym przedziale ograniczona. W oczywisty sposób pochodna funkcji \(\displaystyle{ x^2}\) jest ograniczona lokalnie, ale nie globalnie, co przekłada się na jej lokalną, ale nie globalną lipschitzowskość.

Można też bez pochodnych: funkcja jest lipschitzowska wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją ograniczenie górne i ograniczenie dolne na współczynniki kierunkowe wszystkich siecznych wykresu tej funkcji. Na wykresie dość dobrze widać, że w każdym przedziale ograniczonym sieczne nie mogą być dowolnie strome, natomiast na całym \(\displaystyle{ \RR}\) już tak.