Mam problem z tym zadaniem:
Niech
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \sin( \frac{1}{x} ) ,&x \neq 0 \\ 0 ,&x = 0 \end{cases} }\) oraz \(\displaystyle{ g(x) = \begin{cases} \sin( \frac{1}{x} ) ,&x \neq 0 \\ 1 ,&x = 0\end{cases} }\)
Wykaż, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest pochodną pewnej funkcji różniczkowalnej na całej prostej \(\displaystyle{ \RR}\), a funkcja \(\displaystyle{ g}\) nie jest pochodną żadnej funkcji różniczkowalnej na całej prostej.
pochodna pewnej funkcji
-
Aldin
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 26 cze 2020, o 17:57
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 24
- Podziękował: 2 razy
pochodna pewnej funkcji
Ostatnio zmieniony 26 cze 2020, o 18:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Temat umieszczony w złym dziale. Poprawa wiadomości.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Temat umieszczony w złym dziale. Poprawa wiadomości.
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: pochodna pewnej funkcji
Rozpatrzmy dwie funkcje:
\(\displaystyle{ u(x)=\begin{cases}x^2\cos\frac{1}{x}& x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}\) i \(\displaystyle{ v(x)=\begin{cases}2x\cos\frac{1}{x}& x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}\)
Funkcja `u` jest różniczkowalna poza zerem (oczywiste), a w zerze mamy \(\displaystyle{ u'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{x^2\cos\frac{1}{x}}{x}=0}\).
Funkcja \(\displaystyle{ y(x)=\int_0^x v(t)dt}\) jest funkcją różniczkowalną (bo `v` jest ciągłą) i jej pochodna w zerze też jest równa zero.
Dla \(\displaystyle{ x\neq 0}\) mamy
\(\displaystyle{ (u-y)'(x)=u'(x)-v(x)=\sin\frac{1}{x}}\)
a dla `x=0` zachodzi `(u-y)'(0)=0`, wobec tego `f=(u-y)'` wszędzie
Żeby pokazać, że `g` nie jest pochodną wystarczy zauważyć, że gdyby była to różnica `f-g` też byłaby pochodną. Ale nie może, bo pochodna ma własność Darboux, a `f-g` nie.
\(\displaystyle{ u(x)=\begin{cases}x^2\cos\frac{1}{x}& x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}\) i \(\displaystyle{ v(x)=\begin{cases}2x\cos\frac{1}{x}& x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}\)
Funkcja `u` jest różniczkowalna poza zerem (oczywiste), a w zerze mamy \(\displaystyle{ u'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{x^2\cos\frac{1}{x}}{x}=0}\).
Funkcja \(\displaystyle{ y(x)=\int_0^x v(t)dt}\) jest funkcją różniczkowalną (bo `v` jest ciągłą) i jej pochodna w zerze też jest równa zero.
Dla \(\displaystyle{ x\neq 0}\) mamy
\(\displaystyle{ (u-y)'(x)=u'(x)-v(x)=\sin\frac{1}{x}}\)
a dla `x=0` zachodzi `(u-y)'(0)=0`, wobec tego `f=(u-y)'` wszędzie
Żeby pokazać, że `g` nie jest pochodną wystarczy zauważyć, że gdyby była to różnica `f-g` też byłaby pochodną. Ale nie może, bo pochodna ma własność Darboux, a `f-g` nie.