Granica górna funkcji interpretacja definicji.

[Kuba3322]

Witam serdecznie, analizując pojęcie granice górnej i dolnej natrafiłem na pewien problem związany z samą interpretacją definicji.
Definicja 1.
Niech \(\displaystyle{ f:A\to \RR}\) i \(\displaystyle{ x_{0}}\) będzie punktem skupienia zbioru. Wtedy
\(\displaystyle{ \limsup\limits_{x\to x_{0}}f(x)=\inf\{\sup\{ f(x) : x\in A\cup S(x_{0},\delta)\}\}. }\)
Czy jest ktoś kto mógłby w miarę przystępny sposób wytłumaczyć o co tu chodzi. Do tej pory zawsze używałem definicji następującej.
Definicja 2.
W przypadku gdy granica \(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to x_{0}} f(x)}\) jest ograniczona od góry wtedy granicę górną definiujemy wzorem
\(\displaystyle{ \limsup\limits_{x\to x_{0}}f(x)=\sup\lim\limits_{x\to x_{0}} f(x)}\).
Jeżeli granica nie jest ograniczona z góry to \(\displaystyle{ \limsup\limits_{x\to x_{0}} f(x)=\infty}\).

Druga definicja jest o wiele łatwiejsza do "ogranięcia". Jeżeli chodzi o pierwszą nie mam pojęcia jak do tego się dobrać. Z zapisu Definicji pierwszej.
Rozumiem że biorę sup dla pewnego sąsiedztwa punktu \(\displaystyle{ x_{0}}\). Ok w sumie to w pewnym sensie się zgadza biorę supremum jednak nie rozumiem po co z tego supremum biorę infinium. Weźmy przykład \(\displaystyle{ \sin\frac{1}{x}}\) dla \(\displaystyle{ x\neq 0}\) i \(\displaystyle{ 0}\) dla \(\displaystyle{ x=0}\). Mógłby ktoś ten przykład rozwiązać wykorzystując pierwszą definicje?

Pozdrawiam.

[a4karo]

Dopóki nie napiszesz precyzyjnie wszystkich definicji, to trudno będzie o pomoc.

Nie piszesz po czym bierzesz suprema i infima, w pierwszej definicji pewnie chciałeś napisać przekrój a nie sumę zbiorów.

Druga definicja w ogóle ma mało sensu.

Przemyśl to.

[Kuba3322]

Jeżeli chodzi o pierwszą definicje to precyzyjna definicja brzmi:

Niech funkcja \(\displaystyle{ f}\) będzie zdefiniowana na zbiorze E i \(\displaystyle{ x_{0}}\) będzie punktem skupienia zbioru E wtedy granice górna w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}}\) definiujemy jako

\(\displaystyle{ \limsup\limits_{x\to x_{0}}f(x)=\inf\{ M_{\delta}(f;x_{0}) : \delta >0\}.}\)
Gdzie
\(\displaystyle{ M_{\delta}(f;x_{0})=\sup(fN_{\delta}(x_{0})\cap E\setminus x_{0})}\)
Niestety nie jest nigdzie określone co oznacza \(\displaystyle{ N_{\delta}(x_{0})}\) rozumiem to jako otoczenie punktu \(\displaystyle{ x_{0}}\).

W przypadku Drugiej definicji tak miałem ją podaną na wykładzie.

[a4karo]

Taka definicja ma sens (`N_{\delta}` jest otoczeniem `x_0` o promieniu `\delta`)., chociaż `f` powinno stać przed nawiasem. Pomyśl czym jest `M_{\delta}(f;x_0)`. Pokaż, że jeżeli `\delta<\gamma`, to `M_{\delta}\le M_{\gamma}`

Co do drugiej definicji, to jest ona pozbawiona sensu, bo używa pojęcia granicy funkcji w punkcie `x_0`, która może nie istnieć. A jeżeli istnieje, to granica górna jest jej równa, więc nie ma co definiować.

Ponadto granica jest liczbą , więc stwierdzenie, że granica jest ograniczona brzmi trochę dziwnie.