Lagranżjan - tłumaczenie

[Marcinziekowski]

Witam
Czy jest ktoś w stanie przedstawić mi na czym polega funkcja Lagrange'a?
Prześledziłem już w tym temacie wiele artykułów i żaden nie pomógł mi w zobrazowaniu sobie tego zagadnienia

Pozdrawiam

[janusz47]

W mechanice przyjęły się następujące terminy:

\(\displaystyle{ L(\vec{q}, \vec{q}', t) = T - U }\) - funkcja Lagrange'a albo lagranżjan.

\(\displaystyle{ \vec{q}_{i}, \ \ i = 1,2,...,n }\) - współrzędne uogólnione.

\(\displaystyle{ \vec{q}'_{i} }\) - prędkości uogólnione.

\(\displaystyle{ \frac{\partial L}{\partial \vec{q}'_{i}} }\) - pędy uogólnione.

\(\displaystyle{ \frac{\partial L}{\partial \vec{q}_{i}} }\) - siły uogólnione.

\(\displaystyle{ \int_{t_{1}}^{t_{2}}L(\vec{q}, \vec{q}', t) dt \ \ (1) }\)

\(\displaystyle{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \vec{q}'_{i}} \right) - \frac{\partial{L}}{\partial \vec{q}'_{i}} = \vec{0} }\) - równanie Lagrange'a.

Ostatnie równanie nazywa się zasadą najmniejszego działania w postaci Hamiltona , bo w pewnych przypadkach ruch \(\displaystyle{ \vec{q}(t) }\) nie tylko jest ekstremalą, lecz także nadaje funkcjonałowi działania \(\displaystyle{ (1) }\) najmniejszą wartość.

Przykład
Ruch swobodny punktu materialnego w \(\displaystyle{ \vec{E}^{3} }\)

\(\displaystyle{ L = T = \frac{1}{2}m\vec{r}'^2. }\)

We współrzędnych kartezjańskich \(\displaystyle{ q_{i} = r_{i}, \ \ i =1,2,3,}\) otrzymujemy

\(\displaystyle{ L = \frac{1}{2}\left( q'^2_{1} + q'^2_{2} + q'^2_{3} \right) }\)

Prędkości uogólnione są składowymi wektora prędkości, pędy uogólnione \(\displaystyle{ p_{i}= mq'_{i}, \ \ i =1,2,3 }\) - składowymi wektora pędu.

Równania Lagrange'a pokrywają się z równaniami Newtona \(\displaystyle{ \frac{d \vec{p}}{dt} = \vec{0} }\)

Więcej przykładów z zastosowaniem lagranżjanu można znaleźć na przykład w podręczniku

Roman Stanisław Ingarden, Andrzej Jemiołkowski: MECHANIKA KLASYCZNA. PWN Warszawa-Poznań 1980.

[Janusz Tracz]

Sposobów podejścia do tematu jest kilka. W zależności czy interesuje Cię bardziej strona fizyczna czy matematyczna, powinieneś zająć się innym podejściem:

\(\displaystyle{ (1)}\) Można wyjść od zasady

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian_mechanics#Equations_of_motion_from_D%27Alembert%27s_principle

oraz zasady prac przygotowanych i jej uogólnienia dla układów dynamicznych. To podejście ma istotną zaletę ponieważ tłumaczy dlaczego funkcja Lagrange'a wygląda tak a nie inaczej, tj. równica energii kinetycznej i potencjalnej. Jednak zasady z których korzysta się "po drodze" wyprowadzając równanie Lagrange'a wymagają pewnego wyczucia fizyki.

\(\displaystyle{ (2)}\) Można też wyjść od strony rachunku wariacyjnego i zająć się szukaniem ekstremów funkcjonału. To podejście matematycznie rzecz ujmując jest pewnym szczególnym przypadkiem równania

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Lagrange_equation#Statement

i zagadnień związanych z ekstremami funkcjonałów.

Osobiście wolę podejście \(\displaystyle{ (2)}\) wydaje mi się wręcz filozoficzne. Bardzo podoba mi się idea wykorzystania prawa przyrody, iż "wszystko chce pozostać w jak najbardziej leniwym stanie energetycznym" do opisu równań ruchu. Choć trudno mi w podejściu \(\displaystyle{ (2)}\) wyjaśnić motywację takiego zdefiniowania funkcji Lagrange'a.

[janusz47]

Jeśli można mówić o podejściach matematycznym czy fizycznym w studiowaniu równań Eulera - Lagrange'a i ich zastosowań, to w jednym i drugim podejściu mamy do czynienia z umiejętnością układania i rozwiązywania równań różniczkowych i całkowych, a więc z matematyką. W pierwszym przypadku z metodami wariacyjnymi znajdowania ekstremów funkcjonału. W drugim przypadku z równaniami opisującymi konkretne zjawiska fizyczne, występujące w mechanice klasycznej i teorii pola.
Można zauważyć, że te podejścia wzajemnie się przenikają . Mechanika klasyczna korzysta z zasad wariacyjnych patrz np. Grzegorz Białkowski mechanika klasyczna, mechanika punktu materialnego i bryły sztywnej. Biblioteka Fizyki. PWN Warszawa 1975.