Równanie z pochodną (mam źle)

[Niepokonana]

Dzień dobry proszę o pomoc z zadaniem.
Nie chcę zaspamiać forum, ale mam źle i nie rozumiem dlaczego.
Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) równanie \(\displaystyle{ f'(x)= \frac{1}{f(0)}}\) ma rozwiązanie, gdzie \(\displaystyle{ f(x)= \frac{x+m}{x-1}}\)
Moje obliczenia:
\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{-1-m}{x^{2}-2x+1} }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{f(0)}= -\frac{1}{m} }\)
\(\displaystyle{ \frac{-1-m}{x^{2}-2x+1} = -\frac{1}{m} }\)
\(\displaystyle{ 0=x^{2}-2x+1-m-m^{2}}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 4m^{2}+4m+4}\), więc równanie ma rozwiązanie dla jakiegokolwiek rzeczywistego \(\displaystyle{ m}\). Tylko w odpowiedziach jest inaczej i nie wiem, gdzie mam błąd.

[Janusz Tracz]

Równanie:

\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{1}{f(0)}}\)

jest równoważne tak jak piszesz:

\(\displaystyle{ \frac{-1-m}{x^{2}-2x+1} = -\frac{1}{m}}\)

ale wygodniej jest napisać (dla \(\displaystyle{ m \neq -1}\)):

\(\displaystyle{ \frac{1}{(x-1)^2} = \frac{1}{m(m+1)} }\)

dla \(\displaystyle{ m=-1}\) równanie nie ma rozwiązań. Teraz zauważ, że gdy \(\displaystyle{ \frac{1}{m(m+1)} }\) jest ujemne to nie ma szans aby istniał taki \(\displaystyle{ x}\) który spełni równanie jest to warunek konieczny. A ogólnie zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ \frac{1}{(x-1)^2} }\) jest równy \(\displaystyle{ \left( 0, \infty \right) }\) pytanie zatem dla jakich \(\displaystyle{ m}\) wyrażanie \(\displaystyle{ \frac{1}{m(m+1)} }\) jest dodatnie. Bo po wstawieniu takiego \(\displaystyle{ m}\) będzie istniał jakiś \(\displaystyle{ x}\) dla którego równanie będzie spełnione.

[kerajs]

\(\displaystyle{ 0=x^{2}-2x+1-m-m^{2}}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 4m^{2}+4m+4}\),
(...) nie wiem, gdzie mam błąd.

\(\displaystyle{ \Delta=(-2)^2-4(1-m-m^{2})=4m^{2}+4m}\)

[Niepokonana]

Dziękuję za pomoc.