Pochodna po współrzędnych biegunowych

[Mondo]

Dla poniższej funkcji mam wyznaczyć pochodną względem \(\displaystyle{ x}\)

\(\displaystyle{ u = r^2 \cos(2\theta)}\), gdzie:
\(\displaystyle{ r = \sqrt{(x^2+y^2)}}\)
\(\displaystyle{ x = r \cos{\theta} }\)
stąd:
\(\displaystyle{ \theta = cos^{-1}\left(\frac{x}{r}\right)}\)

Jak widać problemem w obliczeniu pochodnej jest fakt, iż zarówno \(\displaystyle{ r}\) jak i \(\displaystyle{ \theta}\) zależą od \(\displaystyle{ x}\)
Tak więc obliczając pochodną funkcji \(\displaystyle{ u}\) otrzymuję:
\(\displaystyle{ \frac{du}{dx} = 2rr'\cos(2\theta) - 2r^2\sin(2\theta)\theta'}\)

I teraz mam należy wyznaczyć pochodne \(\displaystyle{ r'}\) oraz \(\displaystyle{ \theta'}\)
\(\displaystyle{ \frac{dr}{dx} = \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{x}{r} = cos(\theta)}\)
\(\displaystyle{ \frac{d\theta}{dx} = \left( \cos^{-1} \left( \frac{x}{r} \right) \right)' = -\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{r}\right)^2}} \left(\frac{x}{r}\right)' = \frac{\sin(\theta)}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{r}\right)^2}} = ? }\)

Jak dokończyc pochodną \(\displaystyle{ \frac{d\theta}{dx}}\)? DziękI!

[pkrwczn]

Dużo szybciej będzie przedstawić \(\displaystyle{ u}\) we współrzędnych kartezjańskich i potem zróżniczkować.

[a4karo]

`x/r=... `

[Mondo]

`x/r=... `

\(\displaystyle{ \frac{x}{r} = \cos{\theta}}\) podstawiam to i stąd też u mnie \(\displaystyle{ (\frac{x}{r})' = -\sin(\theta)}\) ale coś dziwnego mi wychodzi:
\(\displaystyle{ \frac{d\theta}{dx} = \left( \cos^{-1} \left( \frac{x}{r} \right) \right)' = -\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{r}\right)^2}} \left(\frac{x}{r}\right)' = \frac{\sin(\theta)}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{r}\right)^2}} = 1}\)
obliczenie mianownika:
\(\displaystyle{ \sqrt{1-(\frac{x}{r})^2} = \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2} - \frac{x^2}{x^2 + y^2}} = \sqrt{\frac{y^2}{x^2 + y^2}} = \frac{y}{r} = \frac{r\sin(\theta)}{r} = \sin{\theta}}\)

poprawna wynik to \(\displaystyle{ \frac{-\sin{\theta}}{r}}\) gdzieś więc popełniam błąd, tylko gdzie?

[a4karo]

`x/r=... `

\(\displaystyle{ \frac{x}{r} = \cos{\theta}}\) podstawiam to i stąd też u mnie \(\displaystyle{ (\frac{x}{r})' = -\sin(\theta)}\) ale coś dziwnego mi wychodzi:
\(\displaystyle{ \frac{d\theta}{dx} = \left( \cos^{-1} \left( \frac{x}{r} \right) \right)' = -\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{r}\right)^2}} \left(\frac{x}{r}\right)' = \frac{\sin(\theta)}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{r}\right)^2}} = 1}\)

Po pierwsze: prim raz oznacza u Ciebie różniczkowanie po `x` a drugi raz po `\theta`. To nie uchodzi.
Po drugie: `r` też zależy od `x`, więc nie możesz traktować tego jak stałej.

Wskazówka:
Zróżniczkuj równanie `x=r\cos\theta` po `x`

[Mondo]

Po pierwsze: prim raz oznacza u Ciebie różniczkowanie po `x` a drugi raz po `\theta`. To nie uchodzi.

Zawsze kiedy stosuję prim to oznacza on pochodną po x \(\displaystyle{ \frac{d}{dx}}\). Tak więc jeśli piszę \(\displaystyle{ r'}\) to bedę obliczał pochdną \(\displaystyle{ r}\) po \(\displaystyle{ x}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{dr}{dx}}\). Podobnie pochodna \(\displaystyle{ \theta}\) po \(\displaystyle{ x}\) to dla mnie \(\displaystyle{ \theta' = \frac{d\theta}{dx}}\). Gdzie tutaj jest nie konsekwencja?

Po drugie: `r` też zależy od `x`, więc nie możesz traktować tego jak stałej.

Tak, dziękuję za zwrócenie uwagi na to.

Wskazówka:
Zróżniczkuj równanie `x=r\cos\theta` po `x`

No ale to chyba jako trening pochodnych złożonych bo do moje pochodnej \(\displaystyle{ \frac{d\theta}{dx}}\) nic to nie wnosi?
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dx} = r' \cos(\theta) + r -\sin{\theta} \theta' = \cos(\theta) \cos(\theta) - r \sin(\theta) \theta' = \cos^2(\theta) - sin^2(\theta) \Rightarrow 1 =1 }\)
a więc wszystko się ładnie zgadza. Natomiast wciąż mam problem z pochodną \(\displaystyle{ \frac{d\theta}{dx} = (cos^{-1}(\frac{x}{r}))' = \sqrt{-\frac{1}{1 - (\frac{x}{r})^2}} (\frac{x}{r})'}\)

Mianownik: \(\displaystyle{ \sqrt{1-(\frac{x}{r})^2} = \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2} - \frac{x^2}{x^2 + y^2}} = \sqrt{\frac{y^2}{x^2 + y^2}} = \frac{y}{r} = \frac{r\sin(\theta)}{r} = \sin{\theta}}\)
\(\displaystyle{ \frac{d}{dx}(\frac{x}{r}) = (x \frac{1}{r})' = \frac{1}{r} + x(-\frac{1}{r^2}r') = \frac{1}{r} + x(-\frac{1}{r^2} \cos(\theta)) = \frac{1}{r} - \frac{x\cos(\theta)}{r^2}}\)
tak więc:
\(\displaystyle{ \frac{d\theta}{dx} = -\frac{1}{\sin(\theta)} (\frac{1}{r} - \frac{x\cos(\theta)}{r^2})}\)

Ale nie mam pojecia jak to uproscic azeby otrzymac \(\displaystyle{ -\frac{\sin{\theta}}{r}}\)

[a4karo]

Skoro piszesz

\(\displaystyle{ \frac{d\theta}{dx} = \left( \cos^{-1} \left( \frac{x}{r} \right) \right)' = -\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{r}\right)^2}} \left(\frac{x}{r}\right)' = \frac{\sin(\theta)}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{r}\right)^2}} = 1}\)

to drugi prim jako żywo jest pochodną po `\theta`, a nie po `x`.

Jeżeli `x=r\cos\theta`, to różniczkując po `x` dostajemy'

\(\displaystyle{ 1=\frac{\partial r}{\partial x}\cos\theta r-\sin\theta \cdot\frac{\partial \theta}{\partial x}=\cos^2\theta -r\sin\theta\cdot\frac{\partial \theta}{\partial x}}\)
skąd
\(\displaystyle{ \frac{\partial \theta}{\partial x}=-\frac{1-\cos^2\theta}{r\sin\theta}=-\frac{\sin\theta}{r}}\)


Dokończ swoje rachunki:

\(\displaystyle{ ...= \frac{d\theta}{dx} = -\frac{1}{\sin(\theta)} (\frac{1}{r} - \frac{x\cos(\theta)}{r^2})=-\frac{1}{\sin(\theta)} \left(\frac{1}{r}-\frac{r\cos^2\theta}{r^2}\right)=-\frac{\sin\theta}{r}}\)

Dodano po 9 minutach 53 sekundach:
PS: generalnie jest bardzo złą praktyką używanie prima dla oznaczenia pochodnej, gdy mamy do czynienia z funkcjami wielu zmiennych. Na kolkwiach często pojawiają się takie kwiatki:
\(\displaystyle{ f(x,y)=x^3y^2}\)
\(\displaystyle{ f_x=(x^3y^2)'=3x^2y^2}\)
\(\displaystyle{ f_y=(x^3y^2)'=2x^3y}\)

I niby wynik jest poprawny, ale zęby bolą od patrzenia na zapis

[Mondo]

Skoro piszesz

\(\displaystyle{ \frac{d\theta}{dx} = \left( \cos^{-1} \left( \frac{x}{r} \right) \right)' = -\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{r}\right)^2}} \left(\frac{x}{r}\right)' = \frac{\sin(\theta)}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{r}\right)^2}} = 1}\)

to drugi prim jako żywo jest pochodną po `\theta`, a nie po `x`.

Ok zgadzam się, że moja notacja tutaj jest zła, bo pierwszy znak \(\displaystyle{ =}\) mówi iż prima będę traktował jako \(\displaystyle{ \frac{d0}{dx}}\). Natomiast twoje uzasadnienie:

to drugi prim jako żywo jest pochodną po `\theta`, a nie po `x`

chyba nie do końca oddaje te sytuację, bo ja wciąż liczę pochodną po `x` tyle, że wedle "primowej" notacji z \(\displaystyle{ U}\) a powinno być \(\displaystyle{ \frac{d\frac{x}{r}}{dx}}\). Zgadza się?

Jeżeli `x=r\cos\theta`, to różniczkując po `x` dostajemy'

\(\displaystyle{ 1=\frac{\partial r}{\partial x}\cos\theta r-\sin\theta \cdot\frac{\partial \theta}{\partial x}=\cos^2\theta -r\sin\theta\cdot\frac{\partial \theta}{\partial x}}\)

Jest bląd po pierwszym znaku równości, powinno być \(\displaystyle{ 1=\frac{\partial r}{\partial x}\cos(\theta) - r\sin\theta \cdot\frac{\partial \theta}{\partial x}}\)

Dokończ swoje rachunki:

\(\displaystyle{ ...= \frac{d\theta}{dx} = -\frac{1}{\sin(\theta)} (\frac{1}{r} - \frac{x\cos(\theta)}{r^2})=-\frac{1}{\sin(\theta)} \left(\frac{1}{r}-\frac{r\cos^2\theta}{r^2}\right)=-\frac{\sin\theta}{r}}\)

Dokończyłem faktycznie wychodzi to co chciałem, dziekuję!

Dodano po 9 minutach 53 sekundach:
PS: generalnie jest bardzo złą praktyką używanie prima dla oznaczenia pochodnej, gdy mamy do czynienia z funkcjami wielu zmiennych. Na kolkwiach często pojawiają się takie kwiatki:
\(\displaystyle{ f(x,y)=x^3y^2}\)
\(\displaystyle{ f_x=(x^3y^2)'=3x^2y^2}\)
\(\displaystyle{ f_y=(x^3y^2)'=2x^3y}\)

I niby wynik jest poprawny, ale zęby bolą od patrzenia na zapis

Tak tutaj to już bardzo wyrazisty przykład jak nie nalezy tego pisać. Myślę, że kuszące jest to, że prim to tylko jedne znak...