Dla poniższej funkcji mam wyznaczyć pochodną względem \(\displaystyle{ x}\)
\(\displaystyle{ u = r^2 \cos(2\theta)}\), gdzie:
\(\displaystyle{ r = \sqrt{(x^2+y^2)}}\)
\(\displaystyle{ x = r \cos{\theta} }\)
stąd:
\(\displaystyle{ \theta = cos^{-1}\left(\frac{x}{r}\right)}\)
Jak widać problemem w obliczeniu pochodnej jest fakt, iż zarówno \(\displaystyle{ r}\) jak i \(\displaystyle{ \theta}\) zależą od \(\displaystyle{ x}\)
Tak więc obliczając pochodną funkcji \(\displaystyle{ u}\) otrzymuję:
\(\displaystyle{ \frac{du}{dx} = 2rr'\cos(2\theta) - 2r^2\sin(2\theta)\theta'}\)
I teraz mam należy wyznaczyć pochodne \(\displaystyle{ r'}\) oraz \(\displaystyle{ \theta'}\)
\(\displaystyle{ \frac{dr}{dx} = \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{x}{r} = cos(\theta)}\)
\(\displaystyle{ \frac{d\theta}{dx} = \left( \cos^{-1} \left( \frac{x}{r} \right) \right)' = -\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{r}\right)^2}} \left(\frac{x}{r}\right)' = \frac{\sin(\theta)}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{r}\right)^2}} = ? }\)
Jak dokończyc pochodną \(\displaystyle{ \frac{d\theta}{dx}}\)? DziękI!
Pochodna po współrzędnych biegunowych
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 261 razy
- Pomógł: 7 razy
Re: Pochodna po współrzędnych biegunowych
\(\displaystyle{ \frac{x}{r} = \cos{\theta}}\) podstawiam to i stąd też u mnie \(\displaystyle{ (\frac{x}{r})' = -\sin(\theta)}\) ale coś dziwnego mi wychodzi:
\(\displaystyle{ \frac{d\theta}{dx} = \left( \cos^{-1} \left( \frac{x}{r} \right) \right)' = -\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{r}\right)^2}} \left(\frac{x}{r}\right)' = \frac{\sin(\theta)}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{r}\right)^2}} = 1}\)
obliczenie mianownika:
\(\displaystyle{ \sqrt{1-(\frac{x}{r})^2} = \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2} - \frac{x^2}{x^2 + y^2}} = \sqrt{\frac{y^2}{x^2 + y^2}} = \frac{y}{r} = \frac{r\sin(\theta)}{r} = \sin{\theta}}\)
poprawna wynik to \(\displaystyle{ \frac{-\sin{\theta}}{r}}\) gdzieś więc popełniam błąd, tylko gdzie?
-
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: Pochodna po współrzędnych biegunowych
Po pierwsze: prim raz oznacza u Ciebie różniczkowanie po `x` a drugi raz po `\theta`. To nie uchodzi.Mondo pisze: ↑14 cze 2020, o 03:27\(\displaystyle{ \frac{x}{r} = \cos{\theta}}\) podstawiam to i stąd też u mnie \(\displaystyle{ (\frac{x}{r})' = -\sin(\theta)}\) ale coś dziwnego mi wychodzi:
\(\displaystyle{ \frac{d\theta}{dx} = \left( \cos^{-1} \left( \frac{x}{r} \right) \right)' = -\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{r}\right)^2}} \left(\frac{x}{r}\right)' = \frac{\sin(\theta)}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{r}\right)^2}} = 1}\)
Po drugie: `r` też zależy od `x`, więc nie możesz traktować tego jak stałej.
Wskazówka:
Zróżniczkuj równanie `x=r\cos\theta` po `x`
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 261 razy
- Pomógł: 7 razy
Re: Pochodna po współrzędnych biegunowych
Zawsze kiedy stosuję prim to oznacza on pochodną po x \(\displaystyle{ \frac{d}{dx}}\). Tak więc jeśli piszę \(\displaystyle{ r'}\) to bedę obliczał pochdną \(\displaystyle{ r}\) po \(\displaystyle{ x}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{dr}{dx}}\). Podobnie pochodna \(\displaystyle{ \theta}\) po \(\displaystyle{ x}\) to dla mnie \(\displaystyle{ \theta' = \frac{d\theta}{dx}}\). Gdzie tutaj jest nie konsekwencja?
Tak, dziękuję za zwrócenie uwagi na to.
No ale to chyba jako trening pochodnych złożonych bo do moje pochodnej \(\displaystyle{ \frac{d\theta}{dx}}\) nic to nie wnosi?
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dx} = r' \cos(\theta) + r -\sin{\theta} \theta' = \cos(\theta) \cos(\theta) - r \sin(\theta) \theta' = \cos^2(\theta) - sin^2(\theta) \Rightarrow 1 =1 }\)
a więc wszystko się ładnie zgadza. Natomiast wciąż mam problem z pochodną \(\displaystyle{ \frac{d\theta}{dx} = (cos^{-1}(\frac{x}{r}))' = \sqrt{-\frac{1}{1 - (\frac{x}{r})^2}} (\frac{x}{r})'}\)
Mianownik: \(\displaystyle{ \sqrt{1-(\frac{x}{r})^2} = \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2} - \frac{x^2}{x^2 + y^2}} = \sqrt{\frac{y^2}{x^2 + y^2}} = \frac{y}{r} = \frac{r\sin(\theta)}{r} = \sin{\theta}}\)
\(\displaystyle{ \frac{d}{dx}(\frac{x}{r}) = (x \frac{1}{r})' = \frac{1}{r} + x(-\frac{1}{r^2}r') = \frac{1}{r} + x(-\frac{1}{r^2} \cos(\theta)) = \frac{1}{r} - \frac{x\cos(\theta)}{r^2}}\)
tak więc:
\(\displaystyle{ \frac{d\theta}{dx} = -\frac{1}{\sin(\theta)} (\frac{1}{r} - \frac{x\cos(\theta)}{r^2})}\)
Ale nie mam pojecia jak to uproscic azeby otrzymac \(\displaystyle{ -\frac{\sin{\theta}}{r}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: Pochodna po współrzędnych biegunowych
Skoro piszesz
Jeżeli `x=r\cos\theta`, to różniczkując po `x` dostajemy'
\(\displaystyle{ 1=\frac{\partial r}{\partial x}\cos\theta r-\sin\theta \cdot\frac{\partial \theta}{\partial x}=\cos^2\theta -r\sin\theta\cdot\frac{\partial \theta}{\partial x}}\)
skąd
\(\displaystyle{ \frac{\partial \theta}{\partial x}=-\frac{1-\cos^2\theta}{r\sin\theta}=-\frac{\sin\theta}{r}}\)
Dokończ swoje rachunki:
\(\displaystyle{ ...= \frac{d\theta}{dx} = -\frac{1}{\sin(\theta)} (\frac{1}{r} - \frac{x\cos(\theta)}{r^2})=-\frac{1}{\sin(\theta)} \left(\frac{1}{r}-\frac{r\cos^2\theta}{r^2}\right)=-\frac{\sin\theta}{r}}\)
Dodano po 9 minutach 53 sekundach:
PS: generalnie jest bardzo złą praktyką używanie prima dla oznaczenia pochodnej, gdy mamy do czynienia z funkcjami wielu zmiennych. Na kolkwiach często pojawiają się takie kwiatki:
\(\displaystyle{ f(x,y)=x^3y^2}\)
\(\displaystyle{ f_x=(x^3y^2)'=3x^2y^2}\)
\(\displaystyle{ f_y=(x^3y^2)'=2x^3y}\)
I niby wynik jest poprawny, ale zęby bolą od patrzenia na zapis
to drugi prim jako żywo jest pochodną po `\theta`, a nie po `x`.\(\displaystyle{ \frac{d\theta}{dx} = \left( \cos^{-1} \left( \frac{x}{r} \right) \right)' = -\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{r}\right)^2}} \left(\frac{x}{r}\right)' = \frac{\sin(\theta)}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{r}\right)^2}} = 1}\)
Jeżeli `x=r\cos\theta`, to różniczkując po `x` dostajemy'
\(\displaystyle{ 1=\frac{\partial r}{\partial x}\cos\theta r-\sin\theta \cdot\frac{\partial \theta}{\partial x}=\cos^2\theta -r\sin\theta\cdot\frac{\partial \theta}{\partial x}}\)
skąd
\(\displaystyle{ \frac{\partial \theta}{\partial x}=-\frac{1-\cos^2\theta}{r\sin\theta}=-\frac{\sin\theta}{r}}\)
Dokończ swoje rachunki:
\(\displaystyle{ ...= \frac{d\theta}{dx} = -\frac{1}{\sin(\theta)} (\frac{1}{r} - \frac{x\cos(\theta)}{r^2})=-\frac{1}{\sin(\theta)} \left(\frac{1}{r}-\frac{r\cos^2\theta}{r^2}\right)=-\frac{\sin\theta}{r}}\)
Dodano po 9 minutach 53 sekundach:
PS: generalnie jest bardzo złą praktyką używanie prima dla oznaczenia pochodnej, gdy mamy do czynienia z funkcjami wielu zmiennych. Na kolkwiach często pojawiają się takie kwiatki:
\(\displaystyle{ f(x,y)=x^3y^2}\)
\(\displaystyle{ f_x=(x^3y^2)'=3x^2y^2}\)
\(\displaystyle{ f_y=(x^3y^2)'=2x^3y}\)
I niby wynik jest poprawny, ale zęby bolą od patrzenia na zapis
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 261 razy
- Pomógł: 7 razy
Re: Pochodna po współrzędnych biegunowych
Ok zgadzam się, że moja notacja tutaj jest zła, bo pierwszy znak \(\displaystyle{ =}\) mówi iż prima będę traktował jako \(\displaystyle{ \frac{d0}{dx}}\). Natomiast twoje uzasadnienie:a4karo pisze: ↑14 cze 2020, o 12:05 Skoro piszeszto drugi prim jako żywo jest pochodną po `\theta`, a nie po `x`.\(\displaystyle{ \frac{d\theta}{dx} = \left( \cos^{-1} \left( \frac{x}{r} \right) \right)' = -\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{r}\right)^2}} \left(\frac{x}{r}\right)' = \frac{\sin(\theta)}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{r}\right)^2}} = 1}\)
chyba nie do końca oddaje te sytuację, bo ja wciąż liczę pochodną po `x` tyle, że wedle "primowej" notacji z \(\displaystyle{ U}\) a powinno być \(\displaystyle{ \frac{d\frac{x}{r}}{dx}}\). Zgadza się?to drugi prim jako żywo jest pochodną po `\theta`, a nie po `x`
Jest bląd po pierwszym znaku równości, powinno być \(\displaystyle{ 1=\frac{\partial r}{\partial x}\cos(\theta) - r\sin\theta \cdot\frac{\partial \theta}{\partial x}}\)
Dokończyłem faktycznie wychodzi to co chciałem, dziekuję!
Tak tutaj to już bardzo wyrazisty przykład jak nie nalezy tego pisać. Myślę, że kuszące jest to, że prim to tylko jedne znak...a4karo pisze: ↑14 cze 2020, o 12:05 Dodano po 9 minutach 53 sekundach:
PS: generalnie jest bardzo złą praktyką używanie prima dla oznaczenia pochodnej, gdy mamy do czynienia z funkcjami wielu zmiennych. Na kolkwiach często pojawiają się takie kwiatki:
\(\displaystyle{ f(x,y)=x^3y^2}\)
\(\displaystyle{ f_x=(x^3y^2)'=3x^2y^2}\)
\(\displaystyle{ f_y=(x^3y^2)'=2x^3y}\)
I niby wynik jest poprawny, ale zęby bolą od patrzenia na zapis