Pochodna złożenia funkcji czy dobrze

[Niepokonana]

Dzień dobry
Proszę o sprawdzenie mi, czy mam dobrze zadanie i wytknięcie mi ewentualnych błędów.

Oblicz pochodną złożenia funkcji, korzystając ze wzoru \(\displaystyle{ (f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))}\).
Mam problemy z tym wzorem, dłuższą chwilę zajęło mi domyślenie się, co znaczy \(\displaystyle{ f'(g(x))}\).

Mam sześć przykładów, ale jestem niepewna dopiero od czwartego.

1. \(\displaystyle{ f(x)=(3x+\sin x)^{2}}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=(3x+\sin x)'\cdot 2(3x+\sin x)=2(3+\cos x)(3x +\sin x)=18x+6\sin x+6x\cos x +\sin 2x
}\)

2. \(\displaystyle{ f(x)=(7x^{3}+5\cos x)^{11}}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=(21x^{2}-5\sin x )\cdot 11(7x^{3} + 5\cos x)^{10}}\)

3. \(\displaystyle{ f(x)=\sin ^{2} x -\cos ^{2} x}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=\cos x 2\sin x +\sin x 2\cos x = 2\sin 2x}\)

4. f(x)=\(\displaystyle{ (\sin ^{2} x -\cos ^{2} x)^{11}}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=2\sin 2x 11(\sin ^{2} x -\cos ^{2} x)^{10}=22\sin 2x (\sin ^{2} x -\cos ^{2} x)^{10}}\)

No i teraz zaczynają się złożenia potrójne... Nie rozumiem do końca pochodnej z pierwiastka.
5. \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt[3]{ \frac{1}{1+x^{2}} } }\)
\(\displaystyle{ (\frac{1}{1+x^{2}})'=-2x\cdot \frac{1}{(1+x)^{2}} }\)
\(\displaystyle{ f'(x)=-2x\cdot \frac{1}{(1+x)^{2}} \frac{1}{3} ( \frac{1}{1+x^{2}})^{- \frac{2}{3} }}\)

6. \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt[5]{\sin 4x} }\)
\(\displaystyle{ (\sin 4x)'=-4\cos 4x \frac{1}{5}(\sin 4x)^{- \frac{4}{5}} }\)
No i przy okazji proszę o wyjaśnienie mi, jak się liczy pochodną funkcji \(\displaystyle{ \frac{1}{x^{n}}}\) i \(\displaystyle{ \sqrt[n]{x}}\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest naturalne.

[piasek101]

Ostatnie pytania (wyjaśnienia).

\(\displaystyle{ \frac{1}{x^n}=x^{-n}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt [n]{x}=x^{\frac{1}{n}}}\)

ps. Po co Ci takie skomplikowane przypadki do obliczania pochodnej ?

[edit] Wrzuć przykłady w wolframa - pokaże czy masz ok.

[Niepokonana]

W sensie jak się liczy pochodną z funkcji pierwiastek entego stopnia lub odwrotność liczby do entej potęgi? Bo ja mam tylko wzór na drugą potęgę.
To wcale nie są skomplikowane przypadki, to jest zadanie z gwiazdką. Moja pani od matematyki nie zadaje nam skomplikowanych zadań.

A co to wolfram?

[JHN]

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/

Pozdrawiam
PS. Tak na szybko - w 6. nie powinno być minusa: \(\displaystyle{ (\sin z)'=\cos z}\)

[Niepokonana]

Nie rozumiem tego wolframa... Dobrze, skoro panowie nie krzyczą, że jest źle, to jest dobrze.

[Gosda]

Ogólnie masz wzór \((x^t)' = tx^{t-1}\).

[piasek101]

Moja pani od matematyki nie zadaje nam skomplikowanych zadań.

Pani zadaje zadania, których nigdy nie zobaczysz na maturze - bo żadnej funkcji złożonej nie ma (jeśli chodzi o pochodną).

A sama widzisz, że jest jakiś kłopot z ,,normalnymi" - skoro pytałaś jak liczyć pochodną z tego co Ci podałem. Wzór, który napisał poprzednik powinnaś mieć opanowany właśnie w szkole (do normalnych przypadków).

Albo lepiej ten : \(\displaystyle{ \left (a \cdot x^t\right )'=atx^{t-1}}\) (oczywiście pochodna liczona po x-sie).

[Niepokonana]

Po prostu pani nam dała spis wzorów, ale nie przeprowadziła lekcji i miałam problem ze zrozumieniem tego wzoru na złożenie dwóch pochodnych. Teraz już będę umieć.