Pochodne cząstkowe drugiego rzędu - funkcja złożona

[kate _19]

Olicz pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu po zmiennych \(\displaystyle{ x, y}\) z funkcji:
\(\displaystyle{ u=f(t)}\), gdzie \(\displaystyle{ t=xy}\).
Zakładamy, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest dwukrotnie różniczkowalną funkcją.

Wyszły mi takie pochodne, czy moje rozumowanie jest poprawne, czy coś pokręciłam?

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}= \frac{ \partial f}{ \partial t} \frac{ \partial t} { \partial x}= \frac{ \partial f}{ \partial t}y}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y}= \frac{ \partial f}{ \partial t} \frac{ \partial t} { \partial y}= \frac{ \partial f}{ \partial t}x }\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial^2 f}{ \partial x^2}= \frac{ \partial}{ \partial x} \left( \frac{ \partial f} { \partial t}y \right)= \frac{ \partial}{ \partial t} \left( \frac{ \partial f} { \partial x}y \right)= \frac{ \partial ^2f}{ \partial t^2}y^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial^2 f}{ \partial y^2}= \frac{ \partial}{ \partial y} \left( \frac{ \partial f} { \partial t}x \right)= \frac{ \partial}{ \partial t} \left( \frac{ \partial f} { \partial y}x \right)= \frac{ \partial ^2f}{ \partial t^2}x^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial^2 f}{ \partial x \partial y}= \frac{ \partial}{ \partial y} \left( \frac{ \partial f} { \partial t}y \right)= \frac{ \partial}{ \partial t} \left( \frac{ \partial f} { \partial y}y \right)= \frac{ \partial ^2f}{ \partial t^2}xy}\)

[a4karo]

Chyba nie to liczysz: masz policzyć pochodne funkcji `u`. Poza tym pisanie `{\partial f}/{\partial t}` wygląda trochę dziwnie, bo `f` jest funkcją jednej zmiennej i dużo lepiej użyć `f'`.

Dla przykładu
`{\partial u}/{\partial x}(xy)=f'(xy)\cdot {\partial (xy)}/{\partial x}=yf'(xy)`

Dodano po 3 minutach 11 sekundach:
U ciebie wyrażenie w nawiasie w trzeciej linijce jest pochodną iloczynu (pochodnej i `x`) i sie liczy zgodnie za wzorem na pochodną iloczynu

[kate _19]

To wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial^2 u}{ \partial x^2}=yf''(xy) }\)
Tak?

[a4karo]

Nie.
Masz dwie opcje :
Potraktuj `y` jak stałą

Albo
Różniczkujesz iloczyn pamiętając, że pochodna ygreka po iksie jest zerowa.

[kate _19]

Czyli:
\(\displaystyle{ 0 \cdot f'(xy)+y \cdot f''(xy)}\)
co tu jest nie tak?

[a4karo]

Dziwne. Pochodną `f(xy) ` policzyłaś poprawnie, a pochodnej `f'(xy) ` nie potrafisz? Mam wrażenie, że zgadujesz