Pochodna funkcji z wartością bezwzględną

[Thingoln]

Witajcie! Zastanawiam się, jak badać istnienie pochodnej funkcji, która korzysta z wartości bezwzględnej, w punkcie, w którym wyrażenie pod wartością bezwzględną zmienia znak. Znalazłem pewne przykłady, jednak bardzo zależy mi na poprawnym formalnym zapisie i będę wdzięczny za pomoc (a także, jeśli to możliwe, przykład krok po kroku). Weźmy na przykład funkcję \(\displaystyle{ f(x) = |x+3|}\). Oto mój sposób badania istnienia jej pochodnej dla \(\displaystyle{ x=3}\).
I. jeśli \(\displaystyle{ x_{0} \in [ -3, \infty)}\), to \(\displaystyle{ |x_{0} +3| = x_{0} + 3}\)
II. jeśli \(\displaystyle{ x_{0} \in (- \infty , -3)}\), to \(\displaystyle{ |x_{0} +3| = - x_{0} -3}\)

Stąd \(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} x+3 \ \ \ \text{dla} \ \ x \in [ -3, \infty) \\ -x-3 \ \ \ \text{dla} \ \ x \in ( - \infty , -3) \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \left( \lim_{x \to 3^{+}} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \right) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h+3)-(x+3)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} = 1}\)
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \left( \lim_{x \to 3^{-}} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \right) = \lim_{h \to 0} \frac{(-x-h-3)-(-x-3)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h} = -1}\)
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \left( \lim_{x \to 3^{+}} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \right) \neq \lim_{h \to 0} \left( \lim_{x \to 3^{-}} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \right)}\)
Nie istnieje więc pochodna w punkcie \(\displaystyle{ x=3}\).

Czy jest to poprawny zapis? Czy dla reszty punktów, tych normalnych, a więc w których pod wartością bezwzględną nie ma zera, można obliczać pochodną w taki sposób (tam oczywiście już powinna istnieć). Jeśli tak, to czy takim samym sposobem mogę obliczać pochodne np. funkcji takich jak \(\displaystyle{ f(x) = |\tg{(x)}|}\)?
Z góry dziękuję za pomoc i poświęcony czas.

[Gouranga]

Poprawnie.
O ile mi wiadomo jedyna sytuacja, kiedy w takim punkcie będzie istniała pochodna to kiedy będzie to w funkcji pod modułem punkt przegięcia, z którego w funkcji z modułem robi się minimum lokalne. Spróbuj sobie tak przeliczyć dla \(\displaystyle{ f(x) = \left| x^3 \right| }\) dla \(\displaystyle{ x_0 = 0 }\)

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \left( \lim_{x \to 3^{+}} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \right) }\)

Co to jest?

JK

[Thingoln]

Takiej reakcji się spodziewałem. Miała to być granica prawostronna w tym punkcie, jednak nie wiedziałem, jak do tego podejść. Kolejna miała być oczywiście lewostronną. W jaki sposób powinienem to zapisać, o ile w ogóle to dobra droga do celu?

[Janusz Tracz]

Ja mam inne pytanie. Skąd zapis:

\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \left( \lim_{x \to 3^{+}} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \right) = \lim_{h \to 0} \frac{(\red{x}+h+3)-(\red{x}+3)}{h}}\)

to ten \(\displaystyle{ x}\) dążył do \(\displaystyle{ 3^{+}}\) po lewej a po prawej dalej \(\displaystyle{ x}\)? To tak jakby napisać:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } n+ \frac{1}{n}=n+0 }\)

Poza tym wnioskowanie oparte na obserwacji, że:

\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \left( \lim_{x \to 3^{+}} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \right) \neq \lim_{h \to 0} \left( \lim_{x \to 3^{-}} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \right)}\)

za bardzo nie ma sensu. Funkcja \(\displaystyle{ f}\) i tak jest ciągła więc pisanie \(\displaystyle{ \lim_{x \to 3^+} }\) czy \(\displaystyle{ \lim_{x \to 3^-}}\) czy \(\displaystyle{ \lim_{x \to 3}}\) sprowadza się do jednego \(\displaystyle{ f(3)}\). Kluczowe jest spostrzeżenia, że dla \(\displaystyle{ x=3}\):

\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0^{\red{+}}} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\neq \lim_{h \to 0^{\red{-}}} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} }\)

a dla pozostałych \(\displaystyle{ x \neq 3}\) powyższa równość zachodzi (to znaczy jest \(\displaystyle{ =}\) powyżej). Zatem pochodna nie istnieje w \(\displaystyle{ x=3}\).

[Thingoln]

Racja! Dziękuję bardzo. A więc w tym przypadku
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0^{+}} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0^{+}} \frac{(x+h+3) - (x+3)}{h}}\)
podczas gdy
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0^{-}} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0^{-}} \frac{(-x-h-3) - (-x-3)}{h}}\)
Zgadza się? Intuicyjnie rozumiem to tak, że gdy \(\displaystyle{ h}\) dąży do \(\displaystyle{ 0^{+}}\), to jest lekko dodatnie, a gdy do \(\displaystyle{ 0^{-}}\), to jest lekko ujemne, przez co w punkcie zmiany znaku wyrażenia następuje odpowiednio skierowanie go do wartości dodatniej lub ujemnej.

[Janusz Tracz]

A więc w tym przypadku
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0^{+}} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0^{+}} \frac{(x+h+3) - (x+3)}{h}}\)
podczas gdy
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0^{-}} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0^{-}} \frac{(-x-h-3) - (-x-3)}{h}}\)
Zgadza się?

Nie. To, że \(\displaystyle{ h \rightarrow 0^+}\) nie oznacza, że \(\displaystyle{ f(x+h)=x+h+3}\) analogicznie \(\displaystyle{ h \rightarrow 0^-}\) nie gwarantuje, że \(\displaystyle{ f(x+h)=-x-h-3}\). Przykładowo gdybym badał różniczkowalność w punkcie \(\displaystyle{ x=5}\) to niezależnie od sposobu dążenia \(\displaystyle{ h}\) do zera mógłbym (a przynajmniej od pewnego momentu) napisać: \(\displaystyle{ f(5+h)=\left| 5+h+3\right|=8+h }\). Jak widać nie trzeba rozpatrywać przypadków bo od pewnego momentu wyrażania \(\displaystyle{ x+h+3}\) i tak są jednakowego znaku niezależnie od \(\displaystyle{ h}\). Z wyjątkiem gdy \(\displaystyle{ x=-3}\) wtedy wyrażanie \(\displaystyle{ x+h+3=-3+h+3=h}\) faktycznie zależy od znaku \(\displaystyle{ h}\).

Dodano po 14 minutach 39 sekundach:
Mam wrażanie, że nie do kończą rozumiesz idee różniczkowalności co objawia się tym, że mieszasz pojęcie różniczkowalniści w punkcie oraz różniczkowalności. Funkcja \(\displaystyle{ f}\) różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ x}\) to taka dla której istnieje skończona granica:

\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} }\)

i granicę tą da skrócenia zapisu nazywamy z definicji pochodną \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ x}\) i piszemy \(\displaystyle{ f'(x)}\). A funkcja różniczkowalna na zbiorze \(\displaystyle{ D \subseteq \RR}\) to taka, że dla każdego \(\displaystyle{ x\in D}\) istnieje \(\displaystyle{ f'(x)}\) czyli funkcja jest różniczkowalna w każdym punkcie dziedziny. Zatem mając funkcję \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\) daną wzorem \(\displaystyle{ f(x)=\left| x+3\right| }\) można pokazać, że funkcja ta jest różniczkowalna w każdym punkcie z wyjątkiem \(\displaystyle{ x=-3}\) (co robimy wprost z definicji). Zatem \(\displaystyle{ f}\) nie jest różniczkowalna na \(\displaystyle{ \RR}\) wszak prawdą jest zaprzeczenie definicji różniczkowalności na \(\displaystyle{ \RR}\) istniej bowiem świadek (wskazuje do palcem \(\displaystyle{ x=-3}\)) taki, że \(\displaystyle{ f'(-3)}\) nie istnieje.

Dodano po 2 minutach 27 sekundach:
Analogicznie masz z ciągłością. Najpierw definiuje się ciągłość w punkcie a potem ciągłość poprzez ciągłość w każdym punkcie.

[a4karo]

Poprawnie.
O ile mi wiadomo jedyna sytuacja, kiedy w takim punkcie będzie istniała pochodna to kiedy będzie to w funkcji pod modułem punkt przegięcia, z którego w funkcji z modułem robi się minimum lokalne. Spróbuj sobie tak przeliczyć dla \(\displaystyle{ f(x) = \left| x^3 \right| }\) dla \(\displaystyle{ x_0 = 0 }\)

Funkcja `x^2` nie ma punktu pzegięcia, a `|x^2|` jest różniczkowalna. Funkcja `\text{sgn}( x)\cdot \sqrt{|x|}` ma punkt przegięcia, a jej moduł nie ma pochodnej w zerze.

[Thingoln]

Przepraszam, mój błąd i niedbałość. Przez iksa rozumiałem oczywiście punkt \(\displaystyle{ x=-3}\). Dziękuję bardzo za tak obszerne wyjaśnienie. Spróbuję zbadać różniczkowalność drugiej z wymienionych przez siebie funkcji, aby zobaczyć, czy dobrze przyswoiłem sobie to wszystko.
\(\displaystyle{ f(x) = | \tg{(x)} |}\), zbadamy istnienie pochodnej w punkcie \(\displaystyle{ x=k \pi}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest pewną liczbą całkowitą.
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0^{+}} \frac{f(k \pi + h) - f(k \pi)}{h} = \lim_{h \to 0^{+}} \frac{| \tg{(k \pi + h)} | - | \tg{(k \pi)} |}{h} = \lim_{h \to 0^{+}} \frac{ \tg{(k \pi + h)} - \tg{(k \pi)}}{h} = \lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin{(k \pi + h)}}{\cos{(k \pi + h)}} - \frac{\sin{(k \pi)}}{\cos{(k \pi)}}}{h} = \\ = \lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin{(k \pi + h)} \cos{(k \pi)} - \cos{(k \pi + h)} \sin{(k \pi)}}{\cos{(k \pi)} \cos{(k \pi + h)}}}{h} = \lim_{h \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin{(k \pi +h - k \pi)}}{\cos{(k \pi)} \cos{(k \pi + h)}}}{h} = \lim_{h \to 0^{+}} \frac{\sin{h}}{h \cos{(k \pi)} \cos{(k \pi + h)}} = \\ = \lim_{h \to 0^{+}} \frac{\sin{h}}{h} \cdot \lim_{h \to 0^{+}} \frac{1}{\cos{(k \pi)} \cos{(k \pi + h)}} = 1 \cdot 1 = 1}\)
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0^{-}} \frac{f(k \pi + h) - f(k \pi)}{h} = \lim_{h \to 0^{-}} \frac{| \tg{(k \pi + h)} | - | \tg{(k \pi)} |}{h} = \lim_{h \to 0^{-}} \frac{- \tg{(k \pi + h)} + \tg{(k \pi)}}{h} = \\ = - \lim_{h \to 0^{-}} \frac{\tg{(k \pi + h)} - \tg{(k \pi)}}{h} = -1 \cdot 1 = -1}\) (korzystamy z poprzedniej granicy)
Granica lewostronna nie jest równa granicy prawostronnej, a więc funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest różniczkowalna w punktach \(\displaystyle{ x=k \pi}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\).
Nie spodziewałem się, że będzie trzeba skorzystać z granicy \(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{\sin{h}}{h} = 1}\), ale czy wygląda to poprawnie?

[Janusz Tracz]

Tak, wygląda to poprawnie. Niemniej jednak obliczenia można znacząco uprościć zauważając, że:

\(\displaystyle{ \bullet}\)\(\displaystyle{ f(k\pi)=0}\)

\(\displaystyle{ \bullet}\)\(\displaystyle{ f(k\pi+h)=f(h)}\)

wtedy wystarczy napisać:

\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{f(k\pi+h)-f(k\pi)}{h}= \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{\left| \tg h\right| }{h} }\)

stąd już od razy wynika nie istnienie ta granicy widać to szczególnie gdy powołamy się na znany fakt, iż \(\displaystyle{ \tg h/h \rightarrow 1}\). Oczywiści nie unikniemy komentarza, że wyniki tej granicy zależą od sposobu dążenia \(\displaystyle{ h}\) wszak jest on kluczowy. Jeśli nie chcemy korzystać z tangensa to można pokazać nieistnienie granicy \(\displaystyle{ |\sin h|/h}\). Tym samym komentarzem i z tym samym skutkiem.

PS wcześniejsze posty zarówno moje jak i Twoje zawierają jeszcze małą nieścisłość niewpływającą jednak na omawianą idee. Czasem zamiast badać różniczkowalność w \(\displaystyle{ -3}\) badaliśmy ją w \(\displaystyle{ 3}\) ¯\_(ツ)_/¯

[Thingoln]

PS wcześniejsze posty zarówno moje jak i Twoje zawierają jeszcze małą nieścisłość niewpływającą jednak na omawianą idee. Czasem zamiast badać różniczkowalność w \(\displaystyle{ -3}\) badaliśmy ją w \(\displaystyle{ 3}\) ¯\_(ツ)_/¯

Tak jak tytuł tego tematu – po prostu rozpatrywaliśmy wartość bezwzględną. Nawet argumentów.

Bardzo dziękuję Wam wszystkim za pomoc, teraz już lepiej rozumiem ten temat. Z pewnością bardzo się przyda.