Ile pkt wspólnych ma wykres funkcji z wykresem pochodnej - zadanie

[matfanka]

Cześć Wszystkim,
natrafiłam na zadanie, którego nie potrafię rozwiązać i nie rozumiem również wyjaśnienia w odpowiedziach. Zadanie tłumaczę z j. angielskiego.

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)=(x+a) ^{n} }\)
gdzie a jest liczbą rzeczywistą, a n jest dodatnią liczbą całkowitą i \(\displaystyle{ n \ge 2}\).
Jeśli \(\displaystyle{ y=f(x)}\) i \(\displaystyle{ y=f'(x)}\) są narysowane w tym samym układzie współrzędnych, ilość punktów przecięcia będzie:
a) zawsze nieparzysta
b) zawsze parzysta
c) zależna od a, ale nie od n
d) zależna od n, ale nie od a
e) zależna od a i n.

Wg klucza prawidłowa odpowiedź to B. Wiadomo, że obie funkcje będą miały pkt wspólny w miejscu zerowym \(\displaystyle{ (-a,0)}\). To jest dla mnie jasne. Dalej, analizują tutaj parzystość lub nieparzystość funkcji, ale nie rozumiem jaki to ma wpływ na ilość punktów przecięcia, a tym samym skąd wniosek, że będzie jeszcze jeden punkt przecięcia dla \(\displaystyle{ x,y>0}\).

Narysowałam sobie na wykresie dla \(\displaystyle{ n=2}\) i wtedy rzeczywiście widać, że parabola i prosta mają 2 pkt wspólne, ale nie potrafię tego uogólnić...

Próbowałam też policzyć po prostu równaniem:
\(\displaystyle{ (x+a) ^{n}=n(x+a) ^{n-1} }\)
i otrzymuję z tego zależność:
\(\displaystyle{ x=n-a}\)
Czyli wówczas:
\(\displaystyle{ y=n ^{n} }\)

Byłabym wdzięczna, jeśli ktoś mógłby mi to wyjaśnić.

[JHN]

Rozpatrzmy funkcje: \(\displaystyle{ f(x)=(x+a) ^{n} }\) i \(\displaystyle{ g(x)=n(x+a)^{n-1}}\) określone w \(\displaystyle{ \RR}\) dla naturalnego \(\displaystyle{ n\ge2}\)
\(\displaystyle{ f(x)=g(x)\iff (x+a) ^{n}=n(x+a)^{n-1}\\
(x+a) ^{n}-n(x+a)^{n-1}=0\\
(x+a)^{n-1}\cdot(x+a-n)=0\\
x=-a\vee x=-a+n\ne-a}\)
Zatem są dwa punkty wspólne: \(\displaystyle{ (-a,0),\ (-a+n,n^n)}\)

Pozdrawiam
PS. Zgubiłaś, po prostu, w równaniu jedno rozwiązanie. Nota bene w zadaniach zamkniętych istotne jest wskazanie poprawnej odpowiedzi, nawet na bazie intuicji

[edited] uzupełnienie

[matfanka]

Rzeczywiście! No jasne! Dziękuję!
Rozumiem teraz rozwiązanie, ale nadal nie wiem, co autor klucza odpowiedzi miał tu na myśli z parzystością lub nieparzystością funkcji i jej pochodnej.

[JHN]

... ilość punktów przecięcia będzie:
a) zawsze nieparzysta
b) zawsze parzysta...

To mnogość punktów miała być parzysta/nieparzysta.
Dla \(\displaystyle{ a\ne 0}\) funkcje \(\displaystyle{ f,\ g}\) są nieokreślonej parzystości!

Pozdrawiam

[matfanka]

OK, zgadzam się, ale w wyjaśnieniu wyraźnie piszą o parzystości funkcji... Dlatego mnie to zastanawia.

Kod: Zaznacz cały

https://www.szybkiplik.pl/62dB8L46sZ

[JHN]

Możemy dyskutować o faktach, nie podejmuję się komentowania "obcych słów"

Miłego dnia

[a4karo]

Przecież autor zadania nie pisał o parzystości funkcji, tylko o parzystości ilości rozwiązań równania. To jednak są rożne rzeczy (choć nazywają się tak samo). Natomiast "rozwiązanie" ma się do treści zadania jak pięść do nosa, bo nawet w przypadku `a=0`, gdy mamy do czynienia z funkcją parzystą lub nieparzystą ta własność sama w sobie nie gwarantuje istnienia drugiego pierwiastka.