Witam wszystkich
Mam ogromny problem z rozwiązaniem poniższego zadania, treść następująca:
Rozwiąż zagadnienie początkowe dla funkcji \(\displaystyle{ y(t)}\)
\(\displaystyle{ 2yy''-(y')^2 +(y')^4=0}\)
dla warunków \(\displaystyle{ y(0)=1, y'(0)}\)
rozwiązanie ma być analityczne, chociaż celem nie jest rozwiązanie analityczne tego problemu. Ma ono posłużyć do rozwiązania numerycznego. Wykorzystać redukcję rzędu równania.
Byłabym wdzięczna za pomoc
Pozdrawiam!
Równanie różniczkowe drugiego rzędu
Równanie różniczkowe drugiego rzędu
Ostatnio zmieniony 28 maja 2020, o 13:52 przez Dasio11, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Niedozwolony zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm.
Powód: Niedozwolony zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Równanie różniczkowe drugiego rzędu
Spróbuj podstawianiem \(\displaystyle{ y'=u(y)}\) wtedy \(\displaystyle{ y''=uu'}\)
Re: Równanie różniczkowe drugiego rzędu
Próbowałam tak rozwiązać, ale duży problem dla mnie stanowi, że mamy \(\displaystyle{ (y')^2}\) oraz \(\displaystyle{ (y')^4}\), z tym nie umiem sobie poradzić
Ostatnio zmieniony 28 maja 2020, o 19:47 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Równanie różniczkowe drugiego rzędu
Po podstawieniu mamy:
\(\displaystyle{ 2yuu'-u^2+u^4=0}\)
dzielimy przez \(\displaystyle{ u \neq 0}\) jednocześnie zauważając, że \(\displaystyle{ u=0}\) jest! rozwiązaniem zatem wszystkie funkcje stałe w szczególności trywialnie spełniają to równanie. Zatem po podzieleniu mamy:
\(\displaystyle{ 2yu'-u+u^3=0}\)
\(\displaystyle{ 2yu'=u-u^3}\)
\(\displaystyle{ \frac{u'}{u-u^3}= \frac{1}{2y} }\)
To są zmienne rozdzielone (właściwie to już je rozdzieliłem). Scałkuj stronami.
\(\displaystyle{ 2yuu'-u^2+u^4=0}\)
dzielimy przez \(\displaystyle{ u \neq 0}\) jednocześnie zauważając, że \(\displaystyle{ u=0}\) jest! rozwiązaniem zatem wszystkie funkcje stałe w szczególności trywialnie spełniają to równanie. Zatem po podzieleniu mamy:
\(\displaystyle{ 2yu'-u+u^3=0}\)
\(\displaystyle{ 2yu'=u-u^3}\)
\(\displaystyle{ \frac{u'}{u-u^3}= \frac{1}{2y} }\)
To są zmienne rozdzielone (właściwie to już je rozdzieliłem). Scałkuj stronami.