Równanie różniczkowe drugiego rzędu

[fazadelta]

Witam wszystkich
Mam ogromny problem z rozwiązaniem poniższego zadania, treść następująca:
Rozwiąż zagadnienie początkowe dla funkcji \(\displaystyle{ y(t)}\)


\(\displaystyle{ 2yy''-(y')^2 +(y')^4=0}\)
dla warunków \(\displaystyle{ y(0)=1, y'(0)}\)

rozwiązanie ma być analityczne, chociaż celem nie jest rozwiązanie analityczne tego problemu. Ma ono posłużyć do rozwiązania numerycznego. Wykorzystać redukcję rzędu równania.

Byłabym wdzięczna za pomoc
Pozdrawiam!

[Janusz Tracz]

Spróbuj podstawianiem \(\displaystyle{ y'=u(y)}\) wtedy \(\displaystyle{ y''=uu'}\)

[fazadelta]

Próbowałam tak rozwiązać, ale duży problem dla mnie stanowi, że mamy \(\displaystyle{ (y')^2}\) oraz \(\displaystyle{ (y')^4}\), z tym nie umiem sobie poradzić

[Janusz Tracz]

Po podstawieniu mamy:

\(\displaystyle{ 2yuu'-u^2+u^4=0}\)

dzielimy przez \(\displaystyle{ u \neq 0}\) jednocześnie zauważając, że \(\displaystyle{ u=0}\) jest! rozwiązaniem zatem wszystkie funkcje stałe w szczególności trywialnie spełniają to równanie. Zatem po podzieleniu mamy:

\(\displaystyle{ 2yu'-u+u^3=0}\)

\(\displaystyle{ 2yu'=u-u^3}\)

\(\displaystyle{ \frac{u'}{u-u^3}= \frac{1}{2y} }\)

To są zmienne rozdzielone (właściwie to już je rozdzieliłem). Scałkuj stronami.

[fazadelta]

Dziękuję bardzo bardzo, będę działać!