Różniczka zupełna drugiego rzędu funkcji

[piotrek2703]

Cześć,
Pomożecie mi rozwiązać przykład? Będę bardzo wdzięczny
Chodzi o wyznaczenie różniczki zupełnej drugiego rzędu funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)= x^{3}+3 y^{2}+\sin(4x+5y)}\) w punkcie \(\displaystyle{ P_{0}=\left( - \frac{ \pi }{2}, \frac{ \pi }{2} \right) . }\)

Bardzo dziękuję

[janusz47]

\(\displaystyle{ f(x,y) = x^3 +3y^2 +\sin(4x +5y), }\)

\(\displaystyle{ P_{0} = \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right). }\)

\(\displaystyle{ f'_{|x}(x,y) = 3x^2 + 4\cos(4x +5y). }\)

\(\displaystyle{ f'_{|y}(x,y) = 6y + 5\cos(4x +5y). }\)

\(\displaystyle{ f^{''}_{|xx}(x,y) = 6x - 16\sin(4x + 5y). }\)

\(\displaystyle{ f^{''}_{|xy}(x,y) = f^{''}_{|yx}(x,y) = - 20\sin(4x + 5y). }\)

\(\displaystyle{ f^{''}_{|yy}(x,y) = 6 - 25\sin(4x +5y). }\)

\(\displaystyle{ f^{''}_{|xx}(P_{0}) = f^{''}_{|xx}\left(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right ) = -3\pi - 16. }\)

\(\displaystyle{ f^{''}_{|xy}(P_{0}) = f^{''}_{|yx}(P_{0})= f^{''}_{|xy}\left(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right ) = -20. }\)

\(\displaystyle{ f^{''}_{|yy}(P_{0}) = f^{''}_{|yy}\left(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right ) = -19. }\)

\(\displaystyle{ d^2(P_{0}) = d^2\left(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) = \left[\begin{matrix} dx & dy \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} -3\pi -16 & -20\\ -20 & -19 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} dx \\ dy \end{matrix}\right].}\)