Gradient funkcji.

[xdominika]

Obliczyć gradient w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=\tg \sqrt{x ^{2}+y ^{2} } }\). Po policzeniu pochodnych cząstkowych wychodzi mi symbol nieoznaczony \(\displaystyle{ \frac{0}{0} }\). Przy liczeniu pochodnych w punkcie z definicji, zarówno po \(\displaystyle{ x}\), jak i po \(\displaystyle{ y}\), wychodzi mi \(\displaystyle{ 1}\). Czy to oznaca, że gradient tej funkcji w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) nie istnieje czy jest równy \(\displaystyle{ (1,1)}\)?

[Janusz Tracz]

Przy liczeniu pochodnych w punkcie z definicji, zarówno po x, jak i po y, wychodzi mi 1.

Pokaż jak liczysz. Ja sądzę, że pochodne cząstkowe nie istnieją więc gradient też.

[xdominika]

Przy liczeniu pochodnych w punkcie z definicji, zarówno po x, jak i po y, wychodzi mi 1.

Pokaż jak liczysz. Ja sądzę, że pochodne cząstkowe nie istnieją więc gradient też.

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}= \frac{2x}{ (\cos \sqrt{x ^{2}+y ^{2} }) ^{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{x ^{2}+y ^{2} } } }\). Dla \(\displaystyle{ y}\) tak sam, tylko w liczniku \(\displaystyle{ 2y}\).
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}(0,0)= \lim_{h \to 0} = \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}= \lim_{h \to0 } \frac{\tg h}{h}=1 }\)

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ f(h,0)}\) to nie \(\displaystyle{ \tg h}\) tylko \(\displaystyle{ \tg \sqrt{h^2} }\) czyli \(\displaystyle{ \tg \left| h\right| }\). Zatem granica ta zależy od sposoby dążenia \(\displaystyle{ h}\) do zera. Gdy \(\displaystyle{ h \rightarrow 0^-}\) to wynikiem nie jest \(\displaystyle{ 1}\) tylko \(\displaystyle{ -1}\).

[xdominika]

\(\displaystyle{ f(h,0)}\) to nie \(\displaystyle{ \tg h}\) tylko \(\displaystyle{ \tg \sqrt{h^2} }\) czyli \(\displaystyle{ \tg \left| h\right| }\). Zatem granica ta zależy od sposoby dążenia \(\displaystyle{ h}\) do zera. Gdy \(\displaystyle{ h \rightarrow 0^-}\) to wynikiem nie jest \(\displaystyle{ 1}\) tylko \(\displaystyle{ -1}\).

No tak, zupełnie zapomniałam o wartości bezwzględnej, dziękuję bardzo!