Równanie prostej stycznej

[CaffeeLatte]

Znajdź równanie prostej, która jest styczna do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x) = -x(x+2)}\) i jednocześnie do wykresu funkcji \(\displaystyle{ g(x) = (x-1)^2 +1}\). Rozważ wszystkie przypadki.

[a4karo]

Wsk. Rozpatrz prostą o współczynniku kierunkowym `a` i napisz równania prostych stycznych do obu parabol o tym właśnie współczynniku. Kiedy wyrazy wolne oby tych prostych będą tanie same?

[CaffeeLatte]

Nie wiem czy dobrze zrozumiałem.
\(\displaystyle{ f(x) = -x^2 - 2x}\) \(\displaystyle{ P(p,f(p))}\) - współrzędne punktu styczności
\(\displaystyle{ f'(x) = -2x -2}\)
\(\displaystyle{ f'(p) = -2p -2}\)
\(\displaystyle{ y=(-2p -2)(x-p) + (-p^2 -2p)}\)
\(\displaystyle{ y= p^2 -2xp -2x}\)

\(\displaystyle{ g(x) = x^2 -2x +2}\) \(\displaystyle{ H(h, f(h))}\) - współrzędne punktu styczności
\(\displaystyle{ g'(x) = 2x-2}\)
\(\displaystyle{ g'(h) = 2h-2}\)
\(\displaystyle{ y=(2h-2)(x-h) +h^2 -2h+2}\)
\(\displaystyle{ y=2xh-2x-h^2 +2 }\)
i teraz to przyrównać czy jak ?

[JHN]

Fakt:
Do wykresu funkcji różniczkowalej \(\displaystyle{ y=f(x)\wedge x\in D_f}\) istnieje rodzina stycznych
$$y=f'(m)(x-m)+f(m)\wedge m\in D'_f$$
W Twoim zadaniu, styczne do wykresu \(\displaystyle{ y=f(x)}\) mają postać
\(\displaystyle{ y=(-2m-2)(x-m)-m^2-2m\wedge m\in\RR}\),
a styczne do wykresu \(\displaystyle{ y=g(x)}\) mają postać:
\(\displaystyle{ y=(2k-2)(x-k)+k^2-2k+2\wedge k\in\RR}\)

Uporządkuj, porównaj współczynniki i ... napisz odpowiedź

Pozdrawiam

[edited] minęliśmy się postami

...i teraz to przyrównać czy jak ?

Robiłeś dokładnie tak samo, jak ja... Tak, porównać, tylko uważaj... współczynniki kierunkowe rozmieniłeś na drobne

[CaffeeLatte]

Dobra spróbuję to ogarnąć czyli muszę wyłączyć x przed nawias? żeby otrzymać współczynnik kierunkowy?

[JHN]

Dokładnie!

Miłego dnia

[CaffeeLatte]

Czyli mam porównać współczynnik a i wyrazy wolne? więc:
\(\displaystyle{ -2p-2=2h-2 \wedge p^2 =-h^2 +2}\)
\(\displaystyle{ h=-p \wedge p= \sqrt{-h^2 +2}}\)

Dodano po 2 minutach 51 sekundach:
nie wiem czy dobrze to robię

Dodano po 1 godzinie 8 minutach 12 sekundach:
Oki już mam dzięki za pomoc

[a4karo]

Hola hola: przecież `x` dla tych prostych nie są takie same

[piasek101]

Dołożę inny sposób.
Szukana \(\displaystyle{ y=ax+b}\).
Układ (1) : szukana - parabola pierwsza ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie (delta równa zero)
Układ (2) : szukana - parabola druga ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie.

Mamy dwa równania z niewiadomymi \(\displaystyle{ a; b}\).

[CaffeeLatte]

W sumie mi wyszło: dla 'h' \(\displaystyle{ h=1 \vee h=−1}\) i współrzędne \(\displaystyle{ (1,1)}\) i \(\displaystyle{ (−1,5)}\)
i dla 'p' \(\displaystyle{ p=1 \vee p=−1}\) współrzędne \(\displaystyle{ (1,−3)}\) i \(\displaystyle{ (−1,1)}\) i teraz skąd mam wiedzieć przez które punkty
ma przechodzić styczna? Zgodnie z odpowiedzią jedna styczna musi przechodzić przez punkty
\(\displaystyle{ (1,1)}\) i \(\displaystyle{ (−1,1)}\) a druga styczna przez \(\displaystyle{ (−1,5)}\) i \(\displaystyle{ (1,−3)}\) ale skąd mam wiedzieć że akurat przez te?
Wiem że mogę to z rysunku odczytać

[JHN]

... \(\displaystyle{ y= p^2 -2xp -2x}\)...

... \(\displaystyle{ p=1 \vee p=−1}\)...

Zatem
\(\displaystyle{ y= 1^2 -2x\cdot 1 -2x}\) oraz \(\displaystyle{ y= (-1)^2 -2x\cdot(-1) -2x}\)
Podstawienia \(\displaystyle{ h}\) doprowadzą Cię do tych samych równań...

Pozdrawiam

[CaffeeLatte]

chodzi mi bardziej o podstawianie do prostej stycznej \(\displaystyle{ y=ax+b}\)

Dodano po 46 sekundach:
Widać że dla współrzędnych (1,1) i (1,-3) wychodzi sprzeczność i w taki sposób trzeba to odrzucić?

[a4karo]

Zauważ, że przy ustalonym `a` jest dokładnie jeden punkt na pierwszej paraboli, w którym styczna ma współczynnik kierunkowy `a`. Wyznacz ten punkt i równanie tej stycznej (to równanie będzie zależało tylko od `a`.
Dokładnie to samo można powiedzieć o drugiej paraboli. JAk zrobisz to samo, to albo dostaniesz dwie proste równoległe, albo obie się pokryją/

Kiedy sie pokryją? ano wtedy, gdy ich wyrazy wolne będą równe. I już.

Dodano po 14 godzinach 6 minutach 33 sekundach:
Współczynnik kierunkowy prostej stycznej do paraboli `f` w punkcie `x` jest równy `-2x-2`, zaś współczynnik kierunkowy prostej stycznej do `g` w `x ` wynosi `2x-2`

Popatrzmy na proste o współczynniku kierunkowym `a`.
Prosta taka jest styczna do paraboli `f` gdy
\(\displaystyle{ a=-2x_f-2}\), czyli \(\displaystyle{ x_f=-\frac{a+2}{2}}\), a jej równanie to \(\displaystyle{ a(x-x_f)+f(x_f)}\)

a jest styczna d paraboli `g` gdy
\(\displaystyle{ a=2x_g-2}\), czyli \(\displaystyle{ x_g=a(x-x_g)+g(x_g)}\)

Te dwie proste będa się pokrywać, gdy ich wyrazy wolne będą takie same, czyli
\(\displaystyle{ -ax_f+f(x_f)=-ax_g=g(x_g)}\)

To równanie ma dwa rozwiązania, `a=0`, które daje prostą `y=1` oraz `a=-4`, które daje prostą `y=-4x+1`