Pochodne cząstkowe

[Nuna]

Mamy układ równań
\begin{cases} 2e^{y_{1}}+y_{2}x_{1}-4x_{2}+3=0 \\ y_{2}\cos y_{1}-6y_{1}+2x_{1}-x_{3} \end{cases}
Układ ten ma rozwiązania w pewnym otoczeniu punktu \(\displaystyle{ (x_{1},x_{2},x_{3}) = (3,2,7)}\) względem \(\displaystyle{ y_{1}, y_{2}}\).
Chciałabym policzyć pochodne cząstkowe funkcji \(\displaystyle{ y_{1}, y_{2}}\) po zmiennych \(\displaystyle{ x_{1},x_{2},x_{3}}\), różniczkując obustronnie powyższe równania po tych zmiennych i obliczyć te pochodne cząstkowe w punkcie \(\displaystyle{ (3,2,7)}\). Coś zaczęłam, ale chyba źle do tego podeszłam, bo w pochodnej \(\displaystyle{ \frac{dy_{1}}{dx_{1}} }\) zostało mi \(\displaystyle{ y_{1}}\) i nie wiedziałam co zrobić. Prosiłabym o jakieś wskazówki, jak zacząć.

[Tmkk]

Nie wiem czy to już zrobiłaś, ale przede wszystkim należy sprawdzić, czy w ogóle da się wyznaczyć \(\displaystyle{ y_1,y_2}\) jako funkcje zmiennych \(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3}\) wokół punktu \(\displaystyle{ (3,2,7)}\), korzystając np. z twierdzenia o funkcji uwikłanej.

Jeśli tak (tzn założenia twierdzenia są spełnione), to od teraz (w otoczeniu tego punktu) możesz traktować \(\displaystyle{ y_{1,2} = y_{1,2}(x_1,x_2,x_3)}\) i różniczkować sobie stronami własnie tak, jak robisz.

Skoro chcesz policzyć pochodne cząstkowe w punkcie w punkcie \(\displaystyle{ (3,2,7)}\), to po zróżniczkowaniu równania należy wstawić punkt \(\displaystyle{ (3,2,7)}\). Wówczas, nawet jeśli zostaje Ci \(\displaystyle{ y_1}\), to tak naprawdę jest to \(\displaystyle{ y_1(3,2,7)}\), czyli jakaś liczba, którą wyznacza się z wyjściowego układu równań (nie wiem Ci, ile wynosi, bo w układzie równań czegoś brakuje).

[Nuna]

\begin{cases} 2e^{y_{1}}+y_{2}x_{1}-4x_{2}+3=0 \\ y_{2}\cos y_{1}-6y_{1}+2x_{1}-x_{3} \end{cases}

Aj tak, powinno być oczywiście
\begin{cases} 2e^{y_{1}}+y_{2}x_{1}-4x_{2}+3=0 \\ y_{2}\cos y_{1}-6y_{1}+2x_{1}-x_{3} = 0\end{cases}

Nie wiem czy to już zrobiłaś, ale przede wszystkim należy sprawdzić, czy w ogóle da się wyznaczyć \(\displaystyle{ y_1,y_2}\) jako funkcje zmiennych \(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3}\) wokół punktu \(\displaystyle{ (3,2,7)}\), korzystając np. z twierdzenia o funkcji uwikłanej.

Jeśli tak (tzn założenia twierdzenia są spełnione), to od teraz (w otoczeniu tego punktu) możesz traktować \(\displaystyle{ y_{1,2} = y_{1,2}(x_1,x_2,x_3)}\) i różniczkować sobie stronami własnie tak, jak robisz.

Skoro chcesz policzyć pochodne cząstkowe w punkcie w punkcie \(\displaystyle{ (3,2,7)}\), to po zróżniczkowaniu równania należy wstawić punkt \(\displaystyle{ (3,2,7)}\). Wówczas, nawet jeśli zostaje Ci \(\displaystyle{ y_1}\), to tak naprawdę jest to \(\displaystyle{ y_1(3,2,7)}\), czyli jakaś liczba, którą wyznacza się z wyjściowego układu równań (nie wiem Ci, ile wynosi, bo w układzie równań czegoś brakuje).

Zostało sprawdzone, problem pojawia się w następnych krokach... Czyli różniczkuję sobie stronami każde równanie, wyznaczam \(\displaystyle{ \frac{dy_{1}}{dx_{1}} }\) itd. Mogłabym prosić o dokładniejsze wytłumaczenie jak wyznaczyć \(\displaystyle{ y_{1}(3,2,7)}\)?

[Tmkk]

A jak sprawdzałaś założenia twierdzenia funkcji uwikłanej (aby odpowiednia funkcja się zerowa albo odpowiedni minor macierzy różniczki miał niezerowy wyznacznik), to jaki punkt wybrałaś?

Napisałaś:

Układ ten ma rozwiązania w pewnym otoczeniu punktu \(\displaystyle{ (x_{1},x_{2},x_{3}) = (3,2,7)}\) względem \(\displaystyle{ y_{1}, y_{2}}\).

Ile wynosi to rozwiązanie? Bo jeśli dobrze rozumiem, nikt nie podał w zadaniu tego rozwiązania, tylko trzeba sobie samemu wyznaczyć, zgadza się?

[Nuna]

A jak sprawdzałaś założenia twierdzenia funkcji uwikłanej (aby odpowiednia funkcja się zerowa albo odpowiedni minor macierzy różniczki miał niezerowy wyznacznik), to jaki punkt wybrałaś?

Punkt \(\displaystyle{ (x_{1},x_{2},x_{3},y_{1},y_{2} = (3,2,7,0,1)}\). Ale czy to oznacza, że \(\displaystyle{ y_{1}=0}\)? Rozważałam taką możliwość, ale jakoś za bardzo w to wątpiłam.

[Tmkk]

Dokładnie tak.

Pamiętaj, że jeśli chcesz wyznaczyć funkcje \(\displaystyle{ y_1,y_2}\) od zmiennych \(\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3)}\), to wyznaczone funkcje (tutaj w uwikłany sposób oczywiście) cały czas mają spełniać ten układ równań. Oczywiście lokalnie, ale o tym mówi twierdzenie. Zatem skoro punkt \(\displaystyle{ (3,2,7,0,1)}\) spełnia ten układ równań, to już właściwie masz napisane, ile ma wynosić \(\displaystyle{ y_1(3,2,7)}\). Jeszcze szczegółowiej:

Weźmy wyjściowe równania, przy założeniu, że \(\displaystyle{ y_{1,2} = y_{1,2}(x_1,x_2,x_3)}\). Wstawiamy punkt \(\displaystyle{ (3,2,7)}\), otrzymując

\begin{cases} 2e^{y_{1}(3,2,7)}+3y_{2}(3,2,7)-8+3=0 \\ y_{2}(3,2,7)\cos{\left(y_{1}(3,2,7)\right)}-6y_{1}(3,2,7)+6-7 = 0 \end{cases}

w skrócie

\begin{cases} 2e^{y_{1}}+3y_{2}-5=0 \\ y_{2}\cos{y_{1}}-6y_{1}-1 = 0 \end{cases}

Widzisz, to jest dokładnie ten sam układ, co na początku i można go sobie rozwiązać - wychodzi własnie \(\displaystyle{ (0,1)}\). Uczulam, że rozwiązanie wcale nie musi być jednoznaczne i wtedy trzeba sobie wybrać (chyba, że w treści zadania jest podane o który punkt chodzi, to wystarczy tylko sprawdzić, czy autor nie oszukuje i podany punkt rzeczywiście spełnia układ równań).

Przykład, który może Ci to rozjaśni:

Wyznacz z równania \(\displaystyle{ x^2 - y = 0}\), \(\displaystyle{ x}\) jako funkcję zmiennej \(\displaystyle{ y}\), w otoczeniu \(\displaystyle{ y=1}\).
Oczywiście tutaj po wstawieniu \(\displaystyle{ y=1}\) mamy dwie opcje: \(\displaystyle{ x=1}\) lub \(\displaystyle{ x=-1}\). Powiedźmy, że wybieramy tę drugą. Wówczas, funkcję możemy wyznaczyć bez żadnych twierdzeń: \(\displaystyle{ x(y) = -\sqrt{y}}\)

Zauważ tutaj dwie rzeczy: Podana funkcja spełnia podane równanie nie tylko dla \(\displaystyle{ y=1}\), ale dla wszystkich \(\displaystyle{ y \ge 0}\) (o to właśnie w tym wyznaczaniu chodzi). W szczególności, jeśli uprzemy się na ten punkt \(\displaystyle{ y=1}\), to \(\displaystyle{ x(1) }\) musi być równe \(\displaystyle{ -1}\) - aby spełniało wyjściowe równanie.