Ekstremum funkcji trzech zmiennych

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Roshita
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 32 razy

Ekstremum funkcji trzech zmiennych

Post autor: Roshita »

Witam, mam taką funkcję \(\displaystyle{ f(x,y,z)=x+ \frac{y^2}{4x}+ \frac{z^2}{y} + \frac{2}{z} , x,y,z \neq 0 }\)
Mam punkty stacjonarne \(\displaystyle{ A( \frac{1}{2},1,1), B(- \frac{1}{2} ,-1,-1) }\).
Wiem, że w A jest minimum lokalne właściwe. Na podstawie tego można wywnioskować, że w B jest maksimum lokalne właściwe bez obliczeń.
I tu moje pytanie. Jak? Czy trzeba tu skorzystać jakoś z tego, że w dowolnym otoczeniu tego punktu muszą być wartości tego samego znaku? :wink:
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Ekstremum funkcji trzech zmiennych

Post autor: Tmkk »

Wskazówka.

\(\displaystyle{ f(-x,-y,-z) = -f(x,y,z)}\)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Ekstremum funkcji trzech zmiennych

Post autor: Janusz Tracz »

Poza tym można zauważyć, że:

\(\displaystyle{ x+ \frac{y^2}{4x}+ \frac{z^2}{y} + \frac{2}{z} = x + \frac{y^2}{4x}+ \frac{z^2}{2y} + \frac{z^2}{2y} + \frac{1}{2z} + \frac{1}{2z} + \frac{1}{2z} + \frac{1}{2z} \ge 8 \sqrt[8]{x \cdot \frac{y^2}{4x} \cdot \left(\frac{z^2}{2y} \right)^2 \cdot \left( \frac{1}{2z}\right)^4 }= 4 }\)

Dla punkty \(\displaystyle{ A}\) wartość \(\displaystyle{ 4}\) jest osiągana więc jest to minimum lokalne dla dodatnich zmiennych. Wskazówka Tmkk pozwala wnioskować co się dzieje gdy wszystkie zmienne są ujemne.
Roshita
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 32 razy

Re: Ekstremum funkcji trzech zmiennych

Post autor: Roshita »

Myślę, że o chodziło o to co napisał Tmkk. Coś co powinno się zauważyć symetrię i w zasadzie tyle :wink:
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22175
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Ekstremum funkcji trzech zmiennych

Post autor: a4karo »

Ciekawe jak łatwo stwierdzasz, że chodzi o minimum czy maksimum. Są funkcje dwóch zmiennych, które mają same minima lokalne i żądnego maksimum i na dodatek nie są ograniczone ani od góry ani od dołu
Roshita
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 32 razy

Re: Ekstremum funkcji trzech zmiennych

Post autor: Roshita »

Nie bardzo rozumiem o co chodzi :/
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Ekstremum funkcji trzech zmiennych

Post autor: Premislav »

a4karo pisze: 18 kwie 2020, o 14:02 Ciekawe jak łatwo stwierdzasz, że chodzi o minimum czy maksimum. Są funkcje dwóch zmiennych, które mają same minima lokalne i żądnego maksimum i na dodatek nie są ograniczone ani od góry ani od dołu
Nie bardzo rozumiem sens tej wypowiedzi w kontekście wątku. No tak, są takie funkcje, tylko co z tego? Istnienie lokalnego minimum właściwego w punkcie \(\displaystyle{ \overline x}\) funkcji \(\displaystyle{ f: \RR^{3}\rightarrow \RR}\) oznacza, że istnieje takie \(\displaystyle{ \delta>0}\), że dla wszystkich \(\displaystyle{ \overline{y}\in \RR^{3}}\) spełniających \(\displaystyle{ \|\overline {x}-\overline{y}\|<\delta }\) zachodzi \(\displaystyle{ f(\overline{y})> f(\overline{x})}\)
No to przecież jeśli mamy taką \(\displaystyle{ f}\), że \(\displaystyle{ \left(\forall \overline{x}\in \RR^{3}\right)f(-\overline{x})=-f(\overline{x})}\) (czyli jak w zadaniu) i wiemy, że \(\displaystyle{ f}\) ma w \(\displaystyle{ \overline{x_{0}}}\) minimum lokalne właściwe, to znaczy, że \(\displaystyle{ f}\) ma w \(\displaystyle{ -\overline{x_{0}}}\) maksimum lokalne właściwe.
Wszak nierówność \(\displaystyle{ \|\overline{x}-\overline{y}\|<\delta}\) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \|-\overline{x}-\left(-\overline{y}\right)\|<\delta}\). Podobnie mamy dla takiej funkcji \(\displaystyle{ f\left(\overline{y}\right)>f(\overline{x})\Leftrightarrow f(-\overline{y})<f(-\overline{x})}\), wystarczy poprzenosić na drugą stronę i skorzystać z tego warunku z \(\displaystyle{ f(-\overline{x})}\).

Dodano po 1 minucie 41 sekundach:
No tutaj nasza \(\displaystyle{ f}\) wprawdzie jest określona na podzbiorze \(\displaystyle{ \RR^{3}}\), a nie na całym \(\displaystyle{ \RR^{3}}\), ale to w niczym nie przeszkadza.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22175
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Ekstremum funkcji trzech zmiennych

Post autor: a4karo »

Wydawało mi się, że wiesz, bo jakiś światłość zstąpiła. Ale jak wyliczyłeś to ok.
Roshita
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 32 razy

Re: Ekstremum funkcji trzech zmiennych

Post autor: Roshita »

Wszystko mam wyliczone, tylko dodatkowo było podane w zadaniu, że można stwierdzić maksimum w B bez obliczeń i właśnie tu nie oświeciło mnie z tą symetrią.
ODPOWIEDZ