Ekstrema funkcji trzech zmiennych

[lilidzia]

Witam serdecznie

Mam problem z rozwiązaniem poniższego zadania - siedzę nad tym od dwóch dni i już poległam. Należy sprawdzić wszystkie punkty. Czy mógłby mi ktoś to krok po kroku wytłumaczyć?

\(\displaystyle{ f(x,y,z) = -z ^{4} - 4z ^{3} - 12yz ^{2} +20z ^{2} -6y ^{2} z + 24yz-18z-y ^{3} +6y ^{2} -9y-x ^{3} + 3x +3 }\)

[Tmkk]

A jakie postępy poczyniłaś w tym zadaniu? W którym momencie się zacinasz?

[lilidzia]

Obliczyłam pochodne pierwszego rzędu i otrzymałam 3 równania i teraz mam problem z obliczeniem punktów \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ y}\), ponieważ za każdym razem wychodzą mi inne wartości. Aktualnie wyszły mi wartości: \(\displaystyle{ x=1, x= -1, y=3, y=1, z=0, z= -1, z=1, z= -4}\) , a jeszcze wcześniej miałam zupełnie inne wartości i nie wiem czy te aktualne są już poprawne

[Tmkk]

Nie wszystkie są poprawne i jak one mają się do siebie?

Jeśli nie jesteś pewna, to pokaż jak liczysz.

[lilidzia]

\(\displaystyle{ f'x=-3x ^{2}+3 }\)
\(\displaystyle{ f'y=-12z ^{2}-12yz+24z-3y ^{2} +12y-9 }\)
\(\displaystyle{ f'z=-4z ^{3}-12z ^{2} -24yz+40z-6y ^{2} +24y-18 }\)

\begin{cases} -3x ^{2}+3 =0 \\ -12z ^{2}-12yz+24z-3y ^{2} +12y-9=0 \\ -4z ^{3}-12z ^{2} -24yz+40z-6y ^{2} +24y-18 =0 \end{cases}

\begin{cases} -3x ^{2}+3 =0 \\ -12z ^{2}-12yz+24z-3y ^{2} +12y-9=0 /: -3 \\ -4z ^{3}-12z ^{2} -24yz+40z-6y ^{2} +24y-18 =0 /: -2 \end{cases}

\begin{cases} -3x ^{2}+3 =0 \\ 4z ^{2}+4yz-8z+y ^{2} -4y+3=0 \\ 2z ^{3}+6z ^{2} +12yz-20z+3y ^{2} -12y+9 =0 \end{cases}

I tutaj zaczynają się schody
1) \(\displaystyle{ -3x ^{2}+3 =0}\)
\(\displaystyle{ -3x ^{2}=-3}\)
\(\displaystyle{ x=1 \lor x=-1}\)
2)
\(\displaystyle{ 4z ^{2}+4yz-8z+y ^{2} -4y+3=0}\)
\(\displaystyle{ y ^{2} -4y+3=0 }\) stąd liczyłam delte i : \(\displaystyle{ y_1=3, y_2=1}\)
\(\displaystyle{ 4z ^{2}+4yz-8z+y}\) a tutaj tak: \(\displaystyle{ 4z\left( z+y-2\right) }\) i mam:
\(\displaystyle{ z=0 \lor z+y-2=0}\) dla \(\displaystyle{ y=3}\) wyszło \(\displaystyle{ z = -1}\), a dla \(\displaystyle{ y=1}\) wyszło \(\displaystyle{ z=1}\)

3) liczyłam praktycznie tak samo

I czy tak mogę obliczać te równania? Pierwszy raz liczę takie zadania i mam problem...

[Bozydar12]

Po wyliczeniu punktów stacjonarnych są takie 4:
\(\displaystyle{ (1,1,1),(-1,1,1),(1,-1,1),(-1,-1,1)}\)
Teraz konstruujemy macierz 3x3 drugich pochodnych funkcji:

\(\displaystyle{ \begin{array}{ccc} -6x & 0 & 0 \\
0 & -6(y+2z-2) & -12(2z+y-2) \\
0 & -12(2z+y-2) & -12z ^{2} -24z -24y+40
\end{array}}\)

A do macierzy wstawiamy punkty stacjonarne i sprawdzamy każdy podwyznacznik (sprawdzamy określoność macierzy):
jeżeli \(\displaystyle{ I_1>0,I_2>0,I_3>0}\) to mamy minimum, jezeli \(\displaystyle{ I_1<0,I_2>0,I_3<0}\) to mamy maksimum, w innym wypadku brak ekstremum. Sprawdź rachunki bo mogłem się gdzieś pomylić :>

[lilidzia]

Po wyliczeniu punktów stacjonarnych są takie 4:
\(\displaystyle{ (1,1,1),(-1,1,1),(1,-1,1),(-1,-1,1)}\)
Teraz konstruujemy macierz 3x3 drugich pochodnych funkcji:

\(\displaystyle{ \begin{array}{ccc} -6x & 0 & 0 \\
0 & -6(y+2z-2) & -12(2z+y-2) \\
0 & -12(2z+y-2) & -12z ^{2} -24z -24y+40
\end{array}}\)

A do macierzy wstawiamy punkty stacjonarne i sprawdzamy każdy podwyznacznik (sprawdzamy określoność macierzy):
jeżeli \(\displaystyle{ I_1>0,I_2>0,I_3>0}\) to mamy minimum, jezeli \(\displaystyle{ I_1<0,I_2>0,I_3<0}\) to mamy maksimum, w innym wypadku brak ekstremum. Sprawdź rachunki bo mogłem się gdzieś pomylić :>

A możesz mi powiedzieć jak wyliczyłeś punkty stacjonarne? bo ogólnie z tym mam problem

[Bozydar12]

Muszę ci powiedzieć, że chyba również pomyliłem się w stacjonarnych, bo robiłem na szybko, jednak napiszę ci sposób, jak masz czas, sprawdź co wychodzi. Rozpisz sobie wszystkie występujące współczynniki na macierzy (pomocniczo) i zacznij rozwiązywać układ metodą Gaussa. Dochodzisz do przyjemnej postaci układu równań, gdzie otrzymujesz jedno równanie z samymi elementami "z" (w zależności jak to przekształcisz, ale myślę, że to akurat wyjdzie prosto), następnie do drugiego podstawiasz "z" i otrzymujesz funkcję kwadratową y. Tak wyliczone punkty wstawiasz następnie do gradientu i sprawdzasz czy się zerują.
Edit. Wolfram podpowiada, że ten układ rozwiązują następujące pary \(\displaystyle{ (y,z)}\):
\(\displaystyle{ (-3,2),(-1,1),(-1,2),(1,0),(1,1)}\) i tym bym sie sugerował.

[Tmkk]

2)
\(\displaystyle{ 4z ^{2}+4yz-8z+y ^{2} -4y+3=0}\)
\(\displaystyle{ y ^{2} -4y+3=0 }\) stąd liczyłam delte i : y1=3, y2=1
\(\displaystyle{ 4z ^{2}+4yz-8z+y}\) a tutaj tak: \(\displaystyle{ 4z\left( z+y-2\right) }\) i mam:
z=0 v z+y-2=0 dla y=3 wyszło z = -1, a dla y=1 wyszło z=1

Nie rozumiem zbytnio, co tu się wydarzyło.

Wg mnie, najprostszym sposobem rozwiązania tego układu

\begin{cases} -3x ^{2}+3 =0 \\ -12z ^{2}-12yz+24z-3y ^{2} +12y-9=0 \\ -4z ^{3}-12z ^{2} -24yz+40z-6y ^{2} +24y-18 =0 \end{cases}

jest odjęcie podwojonego drugiego równania od trzeciego równiania. Skracają się wówczas wszystkie \(\displaystyle{ y}\) i zostaje

\(\displaystyle{ -4z^3 + 12z^2 - 8z = 0}\)

Teraz wystarczy wyznaczyć z tego \(\displaystyle{ z}\) i wstawić do któregoś ze wcześniejszych równań. Łącznie, powinno Ci wyjść \(\displaystyle{ 12}\) rozwiązań.

[lilidzia]

12 rozwiązań: chodzi o wszystkie możliwe \(\displaystyle{ x,y,z}\)?

Otrzymałam \(\displaystyle{ z=0, z=2, z=1}\).
Po podstawieniu do drugiego równania \(\displaystyle{ f'_y = -12z ^{2}-12yz+24z-3y ^{2} +12y-9=0 }\)
mam: \(\displaystyle{ y=1, y=3, y=-3, y=-1}\), no i \(\displaystyle{ x=1, x=-1}\).
Myślę, że teraz są one poprawne

[Tmkk]

12 rozwiązań: chodzi o wszystkie możliwe x,y,z?

Nie, chodzi o punkty - trójki liczb, które spełniają ten układ równań. Na przykład \(\displaystyle{ x = 1, y=1, z=1}\), w skrócie \(\displaystyle{ (1,1,1)}\) jest jednym z rozwiązań.

Otrzymałam z=0, z=2, z=1.
Po podstawieniu do drugiego równania \(\displaystyle{ f'y = -12z ^{2}-12yz+24z-3y ^{2} +12y-9=0 }\)
mam: y=1, y=3, y=-3, y=-1, no i x=1, x=-1
Myślę, że teraz są one poprawne

Ale jak się mają do siebie te liczby? Czy np \(\displaystyle{ (1,-3,0)}\), czyli \(\displaystyle{ x = 1, y =-3, z = 0}\) jest rozwiązaniem?

[lilidzia]

Otrzymałam z=0, z=2, z=1.
mam: y=1, y=3, y=-3, y=-1, no i x=1, x=-1
Myślę, że teraz są one poprawne

Ale jak się mają do siebie te liczby? Czy np \(\displaystyle{ (1,-3,0)}\), czyli \(\displaystyle{ x = 1, y =-3, z = 0}\) jest rozwiązaniem?

Te liczby to wartości otrzymane z równań, aby móc zrobić punkty stacjonarne to chyba ich potrzebuje tak? Dlatego obliczam te równania? wiem, że potrzebuje stworzyć punkty stacjonarne ale nie wiem jak je wziąć, a myślałam, że właśnie z tych równań

[Bozydar12]

Te liczby to wartości otrzymane z równań, aby móc zrobić punkty stacjonarne to chyba ich potrzebuje tak? Dlatego obliczam te równania? wiem, że potrzebuje stworzyć punkty stacjonarne ale nie wiem jak je wziąć, a myślałam, że właśnie z tych równań

Tak, dokładnie stamtąd je bierzesz.
Licząc ten "mniejszy układ równań" dla y i z dokonywałaś podstawienia do drugiego równania pewnego parametru z, aby otrzymać prostsze równanie kwadratowe z y. Stąd nie parametry y będą w parze z parametrami z. Stąd masz wypisać wszyskie możliwości takich par 3 liczb, że każde z 3 równań da 0. Przykładem takiej trójki jest już podane \(\displaystyle{ (1,1,1)}\)
Takich trójek jak już policzyłaś, jest dokładnie 12:
dla \(\displaystyle{ z=0}\), \(\displaystyle{ y=1 \vee y=3}\)
dla \(\displaystyle{ z=1}\), \(\displaystyle{ y=1 \vee y=-1}\)
dla \(\displaystyle{ z=2}\), \(\displaystyle{ y=-3 \vee y=-1}\)
Do tego podstawiamy \(\displaystyle{ x=1 \vee x=-1}\), stąd będzie 12 par takich liczb. Wstawić te punkty do macierzy, którą wypisałem wyżej i zadanie skończone.

[Tmkk]

Tak, z tych równań, zgadza się. Chodzi mi o to, że rozwiązaniem tego układu równań będzie trójka liczb, np \(\displaystyle{ x = 1, y = 1, z = 1}\), a nie pojedyncze liczby, np \(\displaystyle{ x=1}\).

Więc jeśli piszesz, że wyszło Ci \(\displaystyle{ z=0, z=2, z=1, y=1, y=3, y=-3, y=-1, x=1, x=-1}\), to to nie ma sensu.

[Bozydar12]

Co śmieszniejsze dodam, wolfram pokazuje dla układu jedynie 5 rozwiązań, więc programom też nie ma co wierzyć bezgranicznie.