Jak uzasadnić brak punktów siodłowych?

[terefere123]

\(\displaystyle{ f(x, y) = |x| + |y|}\)
Jedynymi punktami krytycznymi tej funkcji są \(\displaystyle{ \mathbb{R} \times \left\{ 0\right\} }\) i \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\} \times \mathbb{R}}\). (Brak istnienia pochodnej)

Wiadomo, ze \(\displaystyle{ \left( 0, 0\right) }\) jest minimum lokalnym, ale co z pozostałymi punktami krytycznymi?
Umiem pokazać, ze na pewno nie są to ekstrema ale to nie wyklucza punktów siodłowych.
Próbowałem z definicji pokazać ze to nie są punkty siodłowe ale niestety bez skutku.
Jak w takim razie pokazać ze to nie są punkty siodłowe?

[Gosda]

Jaką definicję punktu siodłowego znasz? Według tej, której ja używam, punkt siodłowy ma sens tylko tam, gdzie pochodne kierunkowe istnieją.

[janusz47]

Proszę o wytłumaczenie, co ma wspólnego powierzchnia w kształcie siodła z istnieniem pochodnych kierunkowych ?

[a4karo]

Proszę o wytłumaczenie, co ma wspólnego powierzchnia w kształcie siodła z istnieniem pochodnych kierunkowych ?

Już tłumaczę. Na siodle bez pochodnych kierunkowych tylek by strasznie bolał

[janusz47]

To nie jest wytłumaczenie do istnienia punktu siodłowego.

[a4karo]

Punkt siodlowy - > powierzchnia styczna - > pochodna - > pochodne kierunkowe

Dodano po 2 godzinach 57 sekundach:
Wracając do tematu : wykresem tej funkcji jest postawiona na czubku piramida Cheoosa o nieskończonego wysokości. Czy potrafisz opisać płaszczyzny styczne do tego wykresu w różnych punktach (na krawędziach nie ma płaszczyzn stycznych, są za to płaszczyzny podpierające)

[janusz47]

To nie jest uzasadnienie definicji punktu siodłowego powierzchni.

Jaka jest różnica między punktami stacjonarnymi, siodłowymi i krytycznymi powierzchni ?

[Gosda]

Punkt stacjonarny = punkt, gdzie wszystkie pochodne cząstkowe znikają = punkt, gdzie gradient jest odwzorowaniem zerowym.

Punkt krytyczny = punkt stacjonarny lub punkt, gdzie nie wszystkie pochodne cząstkowe są określone.

Punkt siodłowy = punkt, gdzie pochodne we wzajemnie prostopadłych kierunkach zerują się, ale nie ma minimum/maksimum lokalnego. Nazwa wzięła się od funkcji \(\displaystyle{ x^2 - y^2}\).

To są definicje, jakie wyłożono mi na kursie z analizy. Widać więc, że funkcja \(\displaystyle{ |x| + |y|}\) nie ma punktów siodłowych. Ale może autor zna inne definicje, i wtedy zadanie ma inne rozwiązanie.

[a4karo]

To nie jest uzasadnienie definicji punktu siodłowego powierzchni.

Jaka jest różnica między punktami stacjonarnymi, siodłowymi i krytycznymi powierzchni ?

Ale ześ się doczepił. Uzasadnienie definicji? Po co ci to?
Definicje przyjmujesz z dobrodziejstwem inwentarza i żadne uzasadnienie nie jest potrzebne.

Jeżeli nie zauważyłeś, pytamy autora posta o to jak mu zdefiniowano punkt siodlowy po to, żeby udzielić odpowiedzi na pytanie. W zależności od tego, co odpowie (a na razie nie raczył) udzielimy pomocy.

[janusz47]

Nie przyczepiłem. Konieczne jest rozróżnianie tych punktów zwłaszcza w Analizie.

[terefere123]

Moja definicja punktu siodłowego:
\(\displaystyle{ f}\) ma siodłowy punkt w \(\displaystyle{ (x, y)}\), jeśli istnieje kolo o środku \(\displaystyle{ (x, y)}\) takie ze:
\(\displaystyle{ f }\) przyjmuje maksymalna wartość na jednej średnicy kolo tylko w \(\displaystyle{ (x, y)}\),
i przyjmuje minimalna wartość na innej średnicy tego kola tylko w \(\displaystyle{ (x, y)}\)

[a4karo]

No to sprawdz jak to jest w przypadku twojej funkcji. To proste

[janusz47]

Funkcja, której wykresem jest powierzchnia \(\displaystyle{ z = f(x,y) }\) ma w punkcie \(\displaystyle{ (x_{0}, y_{0}) }\) punkt siodłowy , wtedy i tylko wtedy, gdy po przecięciu tej powierzchni dwoma prostopadłymi płaszczyznami przechodzących przez ten punkt na jednej z nich występuje minimum lokalne, na drugiej - maksimum lokalne. W punkcie siodłowym wyznacznik macierzy drugiej różniczki \(\displaystyle{ D f(x_{0}, y_{0})< 0. }\)

Funkcja, której wykresem jest powierzchnia \(\displaystyle{ z = f(x,y) }\) ma punkt krytyczny \(\displaystyle{ (x_{0}, y_{0}), }\) jeśli obie pochodne cząstkowe funkcji \(\displaystyle{ f_{|x}(x_{0}, y_{0}) = 0 , \ \ f_{|y}(x_{0}, y_{0})= 0 }\) lub co najmniej jedna z pochodnych cząstkowych nie istnieje.

Funkcja, której wykresem jest powierzchnia \(\displaystyle{ z = f(x,y) }\) ma punkt stacjonarny \(\displaystyle{ (x_{0}, y_{0}), }\) jeśli obie pochodne cząstkowe funkcji \(\displaystyle{ f_{|x}(x_{0}, y_{0}) = 0 , \ \ f_{|y}(x_{0}, y_{0})= 0. }\) W punkcie tym występuje minimum lub maksimum lokalne funkcji, w zależności od określoności macierzy drugiej różniczki. Jeśli macierz drugiej różniczki \(\displaystyle{ D^2( f(x_{0}, y_{0})) }\) jest określona dodatnio- funkcja ma w tym punkcie minimum lokalne, jeśli zaś ujemnie - lokalne maksimum.

[a4karo]

@janusz47 definicji punktu siodłowego jest wiele i nie ma sensu ich przytaczanie tutaj. Autor posta podał definicję i rozwiązując zadania trzeba się jej trzymać.

NB funkcja `f(x,y)=xy` ma punkt siodłowy w `(0,0)` ale wyznacznik `Df(0,0)` nie jest ujemny, więc pewnie znów napisałeś coś, czego nie chciałeś.

Również Twoje stwierdzenie dotyczące punktu stacjonarnego

W punkcie tym występuje minimum lub maksimum lokalne funkcji, w zależności od określoności macierzy drugiej różniczki

jest - delikatnie mówiąc - nieprawdziwe.

Doceniam Twój nauczycielski zapał, ale proszę czytaj i sprawdzaj to, co piszesz, bo za dużo Twoich rzeczy trzeba prostować.

[janusz47]

Przynajmniej definicja ta nie wymaga patrzenia w górę na piramidę Cheopsa (nie Cheoosa) ani znajomości płaszczyzn podpierających.