Pochodna z definicji

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
adir7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 56
Rejestracja: 13 sty 2009, o 20:16
Podziękował: 21 razy

Pochodna z definicji

Post autor: adir7 »

Hej mam do wyliczenia pochodną z definicji z funkcji \(\displaystyle{ y= \sqrt{x ^{2}+x+1 } }\) i nie jestem w stanie jej obliczyć. Wynik powinien wychodzić \(\displaystyle{ \frac{2x+1}{2 \sqrt{x ^{2}+x+1 } } }\) . Poniżej przedstawiam wyliczenia do których jestem w stanie sam dojść:

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{(x+\Delta x)^{2} +x+\Delta x+1}- \sqrt{x ^{2}+x+1 } }{\Delta x}= \frac{ \sqrt{x ^{2}+2x\Delta x+(\Delta x) ^{2} +x+\Delta x+1}- \sqrt{x ^{2}+x+1 } }{\Delta x}=\frac{ x ^{2}+2x\Delta x+(\Delta x) ^{2} +x+\Delta x+1- x ^{2}-x-1}{\Delta x( \sqrt{x ^{2}+2x\Delta x+(\Delta x) ^{2} +x+\Delta x+1}+ \sqrt{x ^{2}+x+1 })} }\)

Następnie u góry wszystko poskracałem, wyciągnąłem delta x przed nawias w liczniku i mianowniku z pierwiastków też i wychodzi mi 1. Nie wiem gdzie robię błąd.
Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10365
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Re: Pochodna z definicji

Post autor: Chromosom »

Przedstawione obliczenia są poprawne :) wyciągnięcie spod pierwiastków \(\displaystyle{ \Delta x}\) nie doprowadziłoby do rozwiązania, ostatnie wyrażenie po uproszczeniach wygląda następująco:
$$\frac{x^2-x^2+x-x+1-1+\Delta x(2x+1+\Delta x)}{\Delta x\left(\sqrt{x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2+x+\Delta x+1}+\sqrt{x^2+x+1}\right)}$$
Skrócenie \(\displaystyle{ \Delta x}\) prowadzi do następującej postaci
$$\frac{2x+1+\Delta x}{\sqrt{x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2+x+\Delta x+1}+\sqrt{x^2+x+1}}$$
Granica będzie łatwa do obliczenia, podstawienie \(\displaystyle{ \Delta x=0}\) doprowadzi do podanego rozwiązania.
adir7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 56
Rejestracja: 13 sty 2009, o 20:16
Podziękował: 21 razy

Re: Pochodna z definicji

Post autor: adir7 »

Chromosom pisze: 6 kwie 2020, o 04:25 Przedstawione obliczenia są poprawne :) wyciągnięcie spod pierwiastków \(\displaystyle{ \Delta x}\) nie doprowadziłoby do rozwiązania, ostatnie wyrażenie po uproszczeniach wygląda następująco:
$$\frac{x^2-x^2+x-x+1-1+\Delta x(2x+1)}{\Delta x\left(\sqrt{x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2+x+\Delta x+1}+\sqrt{x^2+x+1}\right)}$$
Skrócenie \(\displaystyle{ \Delta x}\) prowadzi do następującej postaci
$$\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2+x+\Delta x+1}+\sqrt{x^2+x+1}}$$
Granica będzie łatwa do obliczenia, podstawienie \(\displaystyle{ \Delta x=0}\) doprowadzi do podanego rozwiązania.
A gdzie zniknęło \(\displaystyle{ (\Delta x) ^{2} }\) w liczniku?
Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10365
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Re: Pochodna z definicji

Post autor: Chromosom »

Poprawiłem post nr 2, teraz uwzględnia \(\displaystyle{ (\Delta x)^2}\), po podstawieniu \(\displaystyle{ \Delta x=0}\) wynik jest taki sam.
ODPOWIEDZ