Wartość najmniejsza i największa

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
math196
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 13 maja 2019, o 12:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów
Podziękował: 6 razy

Wartość najmniejsza i największa

Post autor: math196 » 26 mar 2020, o 08:55

Znaleźć najmniejszą i największa wartość funkcji \(\displaystyle{ f}\) w zbiorze \(\displaystyle{ D}\).

\(\displaystyle{ f(x,y,z)=xyz,\\ D = \{ (x,y,z) : x^2+y^2+z^2 \le 4 \}}\)

Wiem, że najpierw szukam ekstremum w wewnątrz obszaru, czyli liczę pochodne. A później ma ktoś jakiś pomysł?
Ostatnio zmieniony 26 mar 2020, o 10:44 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

kmarciniak1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 698
Rejestracja: 14 lis 2014, o 19:37
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 154 razy

Re: Wartość najmniejsza i największa

Post autor: kmarciniak1 » 26 mar 2020, o 09:16

A po co się tak męczyć... wystarczy z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną dla liczb\(\displaystyle{ x ^{2}, y ^{2},z ^{2} }\)
No i pomyśl jaka będzie różnica gdy \(\displaystyle{ x,y,z }\) będą wszystkie ujemne albo gdy jedna będzie ujemna

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8857
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1884 razy

Re: Wartość najmniejsza i największa

Post autor: Dasio11 » 26 mar 2020, o 09:36

Z ogólnych twierdzeń wiadomo, że maksimum istnieje i albo jest równe maksimum warunkowemu na brzegu kuli, albo jest punktem stacjonarnym wewnątrz. W celu wyznaczenia tego pierwszego możesz użyć mnożników Lagrange'a.

kmarciniak1 pisze:
26 mar 2020, o 09:16
A po co się tak męczyć...
Po to:
pisze:
10 lis 2013, o 10:31
A po drugie: metody nieschematyczne mają tę wadę, że słabo się uogólniają - dziwnym więc byłby dydaktykiem ktoś kto od studentów wymagałby rozwiązywania sztampowych zadań niesztampowymi metodami.

kmarciniak1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 698
Rejestracja: 14 lis 2014, o 19:37
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 154 razy

Re: Wartość najmniejsza i największa

Post autor: kmarciniak1 » 26 mar 2020, o 09:56

Ale nie wiem czemu właściwie cytujesz to co pisał Qń w innym wątku. Nigdzie przecież nie twierdzę, że dydaktyk powinien wymagać od studentów niesztampowych rozwiązań. Jak również zdaje sobie sprawę, że metoda ze średnimi w wielu przypadkach zadań rachunku różniczkowego wielu zmiennych się nie sprawdzi. Akurat do tego zadania sprawdzi się idealnie więc napisałem, że warto by było tak to rozwiązać.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8857
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1884 razy

Re: Wartość najmniejsza i największa

Post autor: Dasio11 » 26 mar 2020, o 11:51

Sens tego zadania prawdopodobnie polega na nauczeniu studenta metody, którą sprawdza się w dużej ogólności. Nie osiągnie się tego celu pokazując studentowi, jak rozwiązać zadanie trickiem działającym w tym konkretnym i paru podobnych przypadkach. Można oczywiście pokazać trick w ramach ciekawostki, ale raczej nie jako "to lepsze rozwiązanie, przy którym nie trzeba się tak męczyć".

ODPOWIEDZ