Zadanie optymalizacyjne

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
nice1233
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 7 lis 2015, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Zadanie optymalizacyjne

Post autor: nice1233 »

2.122. Czy istnieje przedstawieni liczby 10 w postaci dwóch składników, dla których iloraz sumy kwadratów tych składników przez iloczyn tych składników jest najmniejszy, jeśli:

a) oba składniki dodatnie
b) jeden ze składników ujemny?

Nie mam problemu z rozwiązanie A, natomiast B tak, z w zbiorze jest wskazówka ()


\(\displaystyle{ W = \frac{{{x}^{2}}+{{\left( 10-x \right)}^{2}}}{x\left( 10-x \right)}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^- } W = - \infty
}\)


Co to oznacza?
Dlaczego badamy granicę lewostronną od 0, a nie prawostronną, dlaczego wogóle badam granicę (myślę, że dlatego ponieważ dziedzina się tam rozpada, mianownik różny od zera - ale nie jestem pewny).

Skoro w wskazówce jest badanie granicy, to nasuwaja się asymptoty wykresów - ale co to ma wspólnego z rozwiązaniem z podpunktu B? To nie wiem niestety.

Oto moje rowiązanie

[ciach]

Byłbym wdzieczy o wytłumaczenie.
Ostatnio zmieniony 21 mar 2020, o 20:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieregulaminowy zapis - obrazki zamiast zapisu w LaTeX-u.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Zadanie optymalizacyjne

Post autor: Premislav »

We wskazówce do b) interesuje nas granica lewostronna w zerze, ponieważ \(\displaystyle{ x}\) jest tym ujemnym składnikiem sumy…
Do tego, by \(\displaystyle{ W(x)}\) dla \(\displaystyle{ x<0}\) przyjmował wartość najmniejszą, potrzeba (choć oczywiście nie wystarcza!), by granice
\(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty}W(x), \ \lim_{x\to 0^{-}}W(x)}\) nie wynosiły \(\displaystyle{ -\infty}\), no tutaj akurat jedna z nich tyle wynosi, co oznacza, że dla dowolnego \(\displaystyle{ M>0}\) istnieje takie \(\displaystyle{ x<0}\), że \(\displaystyle{ W(x)<-M}\), a to wyklucza istnienie wartości najmniejszej.
ODPOWIEDZ