badanie przebiegu zmienności funkcji

[kubus]

Witam , mam problem ze zbadaniem zmienności funkcji : \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x-1}{x\cdot\sqrt{x}}}\)
Obliczyłam dziedzinę funkcji \(\displaystyle{ x \in \left( 0 ,\infty \right)}\)
Policzyłam również asymptote pionowa prawostronną \(\displaystyle{ x=0}\) i asymptote ukośną \(\displaystyle{ y=0}\) która jest asymptota poziomą przy \(\displaystyle{ x \in \pm \infty}\)
mam problem z ekstremum funkcji i z wyznaczeniem wklęsłości i wypukłości.
z góry dziękuję za pomoc

[Jan Kraszewski]

asymptote ukośną \(\displaystyle{ y=0}\) która jest asymptota poziomą przy \(\displaystyle{ x \in \pm \infty}\)

No to wygląda słabo. Po pierwsze dlatego, że do nieskończoności można dążyć, ale nie można do niej należeć. Po drugie dlatego, że \(\displaystyle{ -\infty}\) w kontekście dziedziny wygląda podejrzanie.

mam problem z ekstremum funkcji i z wyznaczeniem wklęsłości i wypukłości.

Policz pochodną i drugą pochodną.

JK

[kubus]

Pierwsza pochodna : \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{x}+ \frac{x}{2 \cdot \sqrt{x} } }{\left(( x \cdot \sqrt{x} \right))^{2} }}\)

[Jan Kraszewski]

Pochodna jest źle policzona.

Może byłoby Ci prościej, gdybyś przekształcił wzór: \(\displaystyle{ f(x)=x^{-\frac12}-x^{-\frac32}.}\)

JK

[kubus]

\(\displaystyle{ \frac{-\frac{x^2}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}-\frac{x}{2\sqrt{x}}}{x^3}}\) pierwsza pochodna

[Jan Kraszewski]

Źle (choć bliżej prawdy, pomyliłeś tylko znaki w jednym fragmencie). Podałem Ci prostszą postać wzoru funkcji (z którego pochodną liczy się natychmiast), a Ty uparcie liczysz pochodną ilorazu i cały czas się mylisz....

JK

[kubus]

\(\displaystyle{ \frac{-\frac{x^2}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}+\frac{x}{2\sqrt{x}}}{x^3}}\)

Dodano po 5 minutach 57 sekundach:
\(\displaystyle{ - \frac{1}{2}x ^{- \frac{3}{2} } + \frac{3}{2} x ^{- \frac{5}{2} }}\) - pochodna z prostszego wzoru

Dodano po 46 minutach 12 sekundach:
Mam pytanie odnośnie parzystości.
Warunek na parzystosc: \(\displaystyle{ f(x)=f(-x)}\)
Po podstawieniu do wzoru funkcji wyjściowej: \(\displaystyle{ f(-x)= \frac{-x-1}{-x \sqrt{-x} }}\) I teraz pytanie.. jeśli pierwiastek z liczby ujemnej nie istnieje , to pomijam ten pierwiastek i zostaje mi \(\displaystyle{ f(x)= \frac{-x-1}{-x}}\) i na tej podstawie określam znak funkcji?

Dodano po 4 minutach 7 sekundach:
Bo jak liczę np wartość funkcji w punkcie -3. I podstawiam do głównego wzoru \(\displaystyle{ f(x)= \frac{-3-1}{-3 \sqrt{-3} }}\) , wynik wyjdzie \(\displaystyle{ f(x)= \frac{-4}{-3}}\) ?

Dodano po 27 minutach 51 sekundach:
Dziedzina wyjściowego wzoru funkcji \(\displaystyle{ \left( 0 + \infty \right)}\)
Asymptota wyszła pionowa prawostronna: \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 ^{+} }\frac{x-1}{x \sqrt{x} } = - \infty }\)
Istnieje również asymptota pozioma y=0 : \(\displaystyle{ \lim_{x \to \pm \infty } \frac{ \frac{x-1}{x \sqrt{x} } }{x} = \lim_{x \to \pm \infty } \frac{x(1- \frac{1}{x}) }{x ^{2} \sqrt{x} } =0 }\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \pm \infty } \frac{x-1}{x \sqrt{x} } - 0x =0}\)

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ - \frac{1}{2}x ^{- \frac{3}{2} } + \frac{3}{2} x ^{- \frac{5}{2} }}\) - pochodna z prostszego wzoru

Teraz dobrze.

Mam pytanie odnośnie parzystości.
Warunek na parzystosc: \(\displaystyle{ f(x)=f(-x)}\)
Po podstawieniu do wzoru funkcji wyjściowej: \(\displaystyle{ f(-x)= \frac{-x-1}{-x \sqrt{-x} }}\) I teraz pytanie.. jeśli pierwiastek z liczby ujemnej nie istnieje , to pomijam ten pierwiastek i zostaje mi \(\displaystyle{ f(x)= \frac{-x-1}{-x}}\) i na tej podstawie określam znak funkcji?

Że co?! Pomijasz pierwiastek?! Nie rób nigdy takich rzeczy.

Warunkiem koniecznym do tego, by funkcja mogła być parzysta jest to, by jej dziedzina była zbiorem symetrycznym względem zera. Zatem w przypadku tej funkcji nawet zadawanie pytania o jej parzystość (czy nieparzystość - ta sama sytuacja) nie ma sensu.

Bo jak liczę np wartość funkcji w punkcie -3. I podstawiam do głównego wzoru \(\displaystyle{ f(x)= \frac{-3-1}{-3 \sqrt{-3} }}\) , wynik wyjdzie \(\displaystyle{ f(x)= \frac{-4}{-3}}\) ?

Jak możesz liczyć wartość funkcji w punkcie POZA DZIEDZINĄ?

Dziedzina wyjściowego wzoru funkcji \(\displaystyle{ \left( 0 + \infty \right)}\)

Powyższe (i poniższe) Twoje rachunki wskazują, że nie rozumiesz znaczenia tej obserwacji... I to nie jest dziedzina wzoru funkcji, tylko dziedzina funkcji.

Istnieje również asymptota pozioma y=0 : \(\displaystyle{ \lim_{x \to \pm \infty } \frac{ \frac{x-1}{x \sqrt{x} } }{x} = \lim_{x \to \pm \infty } \frac{x(1- \frac{1}{x}) }{x ^{2} \sqrt{x} } =0 }\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \pm \infty } \frac{x-1}{x \sqrt{x} } - 0x =0}\)

Już Ci pisałem, że to nieprawda - nie możesz liczyć granicy \(\displaystyle{ -\infty}\) ! Asymptota pozioma jest tylko w \(\displaystyle{ +\infty}\).

JK

[kubus]

\(\displaystyle{ \frac{-\frac{x^2}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}+\frac{x}{2\sqrt{x}}}{x^3}}\)

to jest dobrze ?

[Jan Kraszewski]

to jest dobrze ?

Sprawdź, czy

\(\displaystyle{ \frac{-\frac{x^2}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}+\frac{x}{2\sqrt{x}}}{x^3}=- \frac{1}{2}x ^{- \frac{3}{2} } + \frac{3}{2} x ^{- \frac{5}{2} }.}\)

JK

[kubus]

Lewa strona równa prawej.

[Jan Kraszewski]

Skoro tak, to dobrze...

JK