Problem z badaniem zmienności funkcji.

[Danny03]

Witam, z uwagi na zaistniałą sytuację w kraju i na świecie zdecydowałem , nauczyć się troszkę więcej niż do tej pory mam w programie nauczania.
Zdecydowałem się na badanie zmienności funkcji przy użyciu rachunku różniczkowego.
Zrobiłem kilka zadań jak mniemam dobrze , jednak trafiłem na jedno które sprawiło mi dość duży kłopot.
Oto one :
$$f(x)=\arctg(x)+\arctg\left( \frac{1+x \sqrt{3} }{x- \sqrt{3} }\right) $$
Zadanie polega na tym by sprawdzić czy funkcja jest stała na podanym zbiorze \(\displaystyle{ D=( \sqrt{3}, +\infty )}\) jeśli tak to wyznaczyć stałą .
Jeżeli komuś jak mi, nudzi się podczas kwarantanny i umie zrobić to zadanie od początku do końca to bardzo prosiłbym o rozwiązanie. Ponieważ nie ma odpowiedzi w książce do tego przykładu .

Pozdrawiam.

[Jan Kraszewski]

Policz pochodną.

JK

[Danny03]

Policz pochodną.

JK

To wystarczy ?

[Premislav]

Można przywalić ze wzoru:
\(\displaystyle{ \arctan x+\arctan y=\pi+\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right),x>0, \ y>0, \ xy>1}\)
Najpierw sprawdzimy, że spełnione są jego założenia:
istotnie, dla \(\displaystyle{ x>\sqrt{3}}\) mamy oczywiście \(\displaystyle{ x>0, \ \frac{1+x\sqrt{3}}{x-\sqrt{3}}>0}\), a także
\(\displaystyle{ x\cdot \frac{1+x\sqrt{3}}{x-\sqrt{3}}>1\Leftrightarrow x+x^{2}\sqrt{3}>x-\sqrt{3}\Leftrightarrow x^{2}\sqrt{3}>-\sqrt{3}}\)
co jest oczywiste (liczba dodatnia większa od liczby ujemnej).
Otrzymujemy zatem
\(\displaystyle{ \arctan x+\arctan\left(\frac{1+x\sqrt{3}}{x-\sqrt{3}}\right)=\pi+\arctan\left(\frac{x+\frac{1+x\sqrt{3}}{x-\sqrt{3}}}{1-\frac{x+x^{2}\sqrt{3}}{x-\sqrt{3}}} \right)\\=\pi+\arctan\left(\frac{x^{2}+1}{-\sqrt{3}\left(x^{2}+1\right)} \right)=\pi-\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5}{6}\pi}\)

[Jan Kraszewski]

To wystarczy ?

Tak.

JK

[Danny03]

Dobrze dziękuję za pomoc, udało się zrobić .